Методи обчислення визначеного інтеграла

2. в отриману первісну підставити на місце аргументу спочатку верхню, а потім нижню межу інтеграла;

3. знайти приріст первісної, тобто обчислити інтеграл

Приклади:

1. Обчислити інтеграл:

о Використавши вказане правило, обчислимо даний визначений інтеграл:

2. Обчислити інтеграл:

о Використаємо означення степеня з дробовим і від'ємним показником та обчислимо визначений інтеграл:

3. Обчислити інтеграл:

о Інтеграл від різниці функції замінимо різницею інтегралів від кожної функції.

Метод заміни

При обчисленні визначених інтегралів, як і невизначених, широко користуються методом заміни змінної (або методом підстановки).

Теорема 1. Нехай виконуються умови:

1) функція f(x) неперервна на відрізку [а;b];

2) функція x = (t) і її похідна х' = (t)' неперервні на відрізку [ ; ];

3) (а)=а, ( )=b I t ( ; ):a< (t)
Тоді справджується рівність

(1)

о Оскільки функція f(x) неперервна на [а;b], то вона має первісну. Позначимо її через F(x), x [а;b], тоді з теореми про заміну змінної в невизначеному інтегралі випливає, що функція F( (t) буде первісною функції f( (t)) (t)', t [ ; ]. Застосувавши формулу Ньютона - Лейбніца, маємо

Формула (1) називається формулою заміни змінної(або підстановки) у визначеному інтегралі.

Зауваження 1. Якщо при обчисленні невизначеного інтеграла заміною х= (t) y первісній функції необхідно було від змінної t повернутися до змінної x, то при обчисленні визначеного інтеграла замість цього треба змінити межі інтегрування. Нижня межа а знаходиться як розв'язок рівняння = (t) відносно невідомого t, a верхня межа - з рівняння b = (t).

Якщо функція (t) не монотонна, то може статися, що ці рівняння дадуть кілька різних пар і які задовільняють умови теореми 1 в цьому випадку можна взяти будь-яку з таких пар.

Зауваження 2. Часто замість підстановки x= (t) застосовують підстановку t= (x). У цьому випадку нові межі інтегрування визначаються безпосередньо: = (а), = (b). Проте тут слід мати на увазі, що функція x=x(t), обернена до функції (t), має, як і раніше, задовольняти всі умови теореми 1 зокрема функція x(t) в межах інтегрування має бути означеною неперервно диференційовною функцією t і при зміні t від до змінна x(t) має змінюватися від а до b.