Лінійна алгебра. Визначники

Приклад. Система векторів та є лінійно незалежною, бо рівність , тобто

,

виконується тільки при k1 = k2 = 0 .

Легко бачити, що при m > n система векторів завжди є лінійно залежною.

Приклад. Нехай та . Тоді для довільного вектора завжди знайдуться числа k1 та k2 такі, що (рис. 1.2):

y

x

Рис. 1.2

Пропорційні вектори завжди лінійно залежні.

Приклад. Нехай . Тоді при k1=3 та k2= -1

.

Нехай задана деяка система векторів . Підсистема цієї системи називається базою (базисом), якщо

ця підсистема лінійно незалежна;

кількість елементів k цієї підсистеми є максимально можливою.

Приклад. Базисом системи є, наприклад, підсистема .

Приклад. Базисом тривимірного простору R3 є система векторів {(1;0;0;), (0;1;0), (0;0;1)} .

Означення. Нехай - квадратна матриця. Власними значеннями (власними числами, характеристичними числами) цієї матриці називаються такі значення параметра l , які задовольняють рівняння |A‑l×E| =0 , тобто рівняння

(1.6)

Приклад. Обчислити власні значення матриці .

Будуємо рівняння для відшукання власних чисел: .

Розв’язуємо це рівняння:

(1-l)×(4-l)-(-1)×2 = 0;

l2 -5l+6=0;

l1 = 2; l2 = 3.

Означення. Квадратна матриця називається додатно визначеною, якщо всі її власні числа є додатними.Теорема. Квадратна матриця є додатньо визначеною тоді і тільки тоді, коли кожен з її діагональних мінорів є додатнім: