Лінійна алгебра. Визначники
.
Означення. Мінором Mij елемента aij визначника називається визначник розміру (n-1)?(n-1) , який утворюється з визначника викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця.
Приклад. У визначнику визначники другого порядку є відповідно мінорами елементів a1, b1 та c1.
Означення. Алгебраїчним доповненням Aij елемента aij називається його мінор, узятий зі знаком (+) або (-) так:
якщо сума (i+j) номерів рядка i та стовпця j є парною, то потрібно взяти знак (+), якщо ж ця сума непарна – то знак (-).
Для визначника довільного порядку виконується така
Теорема. Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення цих елементів.
Зокрема,
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n. (1.5)
Приклад. Обчислити визначник .
Згідно з означенням D=2×8×5+5×0×1+3×3×(-2)-1×8×(-2)-5×3×5-2×0×3=3.
За теоремою (розкладаємо визначник за елементами другого рядка) отримуємо той самий результат:
D = a21A21+a22A22+a23A23 = a21(-M21)+a22M22+a23(-M23) =
= =(-3)×31+8×12+(-0)×1 = 3
Таким способом обчислення визначників високих порядків можна послідовно зводити до відшукання визначників щораз менших порядків.
Зазначимо також, що функція MDETERM системи EXCEL дає змогу автоматизувати обчислення визначників досить високих порядків.
Розглянемо довільну (не обов’язково квадратну) матрицю A . Рангом r(A) цієї матриці називається найвищий порядок її мінора, що не дорівнює нулю.
Приклад. Матриця має три мінори третього поряду (всі з яких дорівнюють нулю), дев’ять мінорів другого порядку (з яких деякі дорівнюють нулю, а деякі – ні) та 12 мінорів першого порядку. Отже, для цієї матриці ранг r(A)=2.
Розглянемо систему векторів у n-вимірному просторі. Ця система називається лінійно залежною, якщо існують такі числа k1,…km (не всі з яких одночасно дорівнюють нулю: k12+k22+…+km2>0), що
.
Якщо ж із рівності випливає той факт, що k1=k2=…=km=0, то система називається лінійно незалежною.
Приклад. Система векторів є лінійно залежною, бо існують числа k1=1, k2=1/2, k3=1 такі, що k12+k22+…+km2 = 1+1/4+1 > 0 і одночасно
.