Формула повної ймовірності. Формула Байєса
Реферат на тему:
Формула повної ймовірності. Формула Байєса
Повна група подій. Випадкові події Н1 , Н2 , …, Нn (Нi Î Á, i = 1, 2, …, n) утворюють повну групу подій, якщо:
Ні - попарно несумісні (Нi окрашені Нj =Æ, i ¹ j);
Формула повної ймовірності. Якщо Н1 , Н2 , …, Нn - повна група подій Р(Ні)>0 (i= 1, 2, …, n), то для будь-якої події А (А Î Á) справджується рівність
.
Формула повної ймовірності має місце і для зліченої кількості подій:
якщо {Hi} - послідовність випадкових подій така, що
Нi Ç Нj =Æ, i ¹ j;
,
то для будь-якої події А (А Î Á) виконується рівність
.
Формула Байеса. Якщо Н1 , Н2 , …, Нn - повна група подій Р(Ні)>0 (i= 1, 2, …, n), а В - довільна випадкова подія (В Î Á), така, що Р(В)>0, то
.
Апріорні та апостеріорні ймовірності.Нехай подія А може проходити в різних умовах, про характер яких можна зробити n гіпотез Н1, Н2, …, Нn. Із якихось міркувань відомі ймовірності цих гіпотез Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нn) (апріорні ймовірності), відомі також умовні ймовірності Р(А/Н1), Р(А/Н2), …, Р(А/Нn). Припустимо, що в результаті проведення досліду наступила подія А. Це повинно визвати переоцінку ймовірностей гіпотез Ні; формули Байєса і дають вираз для умовних ймовірностей Р(Нi/А) (ці ймовірності називають апостеріорними ймовірностями).
Задача1.В урну, яка містить дві кулі, покладена біла куля, після чого з неї навмання вилучена одна куля. Найти ймовірність того, що вилучена куля буде білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення щодо початковиого складу білих куль . Розв’язування. Нехай подія А – вилучена біла куля. Можливі наступні припущення (гіпотези) про початковий склад куль: Н1 – білих куль немає. Н2 – одна біла куля. Н3 – дві білі кулі. Оскільки є всього три гіпотези, причому за умовою задачі вони рівноможливі, і сума ймовірностей гіпотез дорівнює одиниці (оскільки вони утворюють повну групу подій), то ймовірність кожної з гіпотез дорівнює 1/3, тобто Р(Н1) =Р(Н2)= Р(Н3)=1/3.
Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля, при умові, що спочатку в урні не було білих куль, Р (А/H1)= . Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля, при умові, що спочатку в урні булa 1 білa куля, Р (А/H2)= . Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля, при умові, що спочатку в урні було 2 білі кулі, Р (А/H3)= =1. Шукану ймовірність того, що буде вилучена біла куля, знаходимо за формулою повної ймовірності
Р(А) =Р(А/Н1) Р(Н1) + Р(А/Н2) Р(Н2) +Р(А/Н3) Р(Н3) = . + . + .1= .
Задача2. В урну, яка містить n куль, покладена біла куля, після чого навмання вилучена одна куля . Знайти ймовірність того, що вилучена куля буде білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення щодо початкового складу куль по кольру. Відповідь р= .