Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість

Зауваження. Умову Ліпшиця можна замінити іншою, більш грубою, але легше перевіряємою умовою існування обмеженої по модулю частинної похідної в області . Дійсно,

де .

Використовуючи доведену теорему про існування та єдиність розв’язку задачі Коші розглянемо ряд теорем, що описують якісну поведінку розв’язків.

Теорема. (про неперервну залежність розв’язків від параметру) Якщо права частина диференціального рівняння

неперервна по при і при кожному фіксованому задовольняє умовам теореми існування й єдиності, причому стала Ліпшиця не залежить від , то розв’язок , що задовольняє початковій умові , неперервно залежить від .

Доведення. Оскільки члени послідовностіє неперервними функціями змінних і , а стала не залежить від , то послідовність збігається до рівномірно по . І, як випливає з математичного аналізу, якщо послідовність неперервних функцій збігається рівномірно, то вона збігається до неперервної функції, тобто - функція, неперервна по .

Теорема (про неперервну залежність від початкових умов). Нехай виконані умови теореми про існування та єдиність розв’язків рівняння

з початковими умовами . Тоді, розв’язки , що записані у формі Коші, неперервно залежать від початкових умов.

Доведення. Роблячи заміну одержимо диференціальне рівняння з нульовими початковими умовами. На підставі попередньої теореми маємо неперервну залежність розв’язків від як від параметрів.

Теорема (про диференційованість розв’язків). Якщо в околі точки функція має неперервні змішані похідні до -го порядку, то розв’язок рівняння

з початковими умовами в деякому околі точки буде - раз неперервно диференційований.

Доведення. Підставивши в рівняння, одержимо тотожність

,

яку можна диференціювати

.

Якщо , то праворуч функція неперервно диференційована. Продиференціюємо її ще раз

,

або

Проробивши це -разів, отримаємо твердження теореми.

Розглянемо диференціальне рівняння, не розв’язане відносно похідної .

Нехай - точка на площині. Підставивши її в рівняння, одержимо відносно алгебраїчне рівняння

.