Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість
Реферат на тему:
Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість
Клас диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах, досить невеликий, тому мають велике значення наближені методи розв’язку диференціальних рівнянь. Але, щоб використовувати ці методи, треба бути впевненим в існуванні розв’язку шуканого рівняння та в його єдиності.
Зараз значна частина теорем існування та єдиності розв’язків не тільки диференціальних, але й рівнянь інших видів доводиться методом стискуючих відображень.
Визначення. Простір називається метричним, якщо для довільних двох точок визначена функція , що задовольняє аксіомам:
1. , причому тоді і тільки тоді, коли ;
2. (комутативність);
3. (нерівність трикутника).
Функція називається відстанню в просторі (метрикою простору ).
Приклад 1.6.1. Векторний - вимірний простір .
Нехай . За метрику можна взяти: , .
Приклад 1.6.2. Простір неперервних функцій на відрізку позначається - . За метрику можна взяти
Визначення. Послідовність називається фундаментальною, якщо для довільного існує таке, що при і довільному буде .
Визначення. Метричний простір називається повним, якщо довільна фундаментальна послідовність точок простору збігається до деякої точки простору .
Теорема (принцип стискуючих відображень). Нехай в повному метричному просторі задано оператор , що задовольняє умовам.
1. Оператор переводить точки простору в точки цього ж простору, тобто якщо , то і .
2. Оператор є оператором стиску, тобто
, де - довільні точки .
Тоді існує єдина нерухома точка , яка є розв’язком операторного рівняння і вона може бути знайдена методом послідовних відображень, тобто , де , причому , вибирається довільно.
Доведення. I. Візьмемо довільну точку і побудуємо послідовність . Покажемо, що побудована послідовність є фундаментальною. Дійсно
Оцінимо . Застосувавши -разів правило трикутника, отримуємо
Таким чином . И при достатньо великому : , тобто послідовність є фундаментальною і, в силу повноти простору , збігається до деякого елемента цього ж простора .