Невласні інтеграли
Бета-функція, або інтеграл Ейлера першого роду, визначається формулою
(91)
Можна довести, що для всіх (0, +∞) і (0, +∞) інтеграл (91) збігається. Варто зазначити, що відповідний невизначений інтеграл , згідно з теоремою Чебишева (п. 1.7), виражається через елементарні функції лише в окремих випадках. Отже, бета-функція не є елементарною.
Гамма-функцією, або інтегралом Ейлера другого роду, називається інтеграл
(92)
Покажемо, що невласний інтеграл (92) при > 0 збігається. Маємо
Перший інтеграл в правій частині цієї рівності збігається, бо
Другий інтеграл також збігається. Справді, якщо n — довільне натуральне число таке, що n > — 1, то
,
в чому можна пересвідчитись, обчислюючи останній інтеграл частинами і враховуючи, що
Отже, інтеграл (92) при > 0 збігається і визначає деяку функцію, яку і називають гамма-функцією Г( ).
Обчислимо значення Г( ) при а N. Якщо = 1, то
(93)
Нехай n + 1 інтегруючи частинами, дістанемо
звідки
Г(n +1) = nГ(n) (94)
З рівностей (93) і (94) випливає, що n N:
Г(n +1) = n!
Таким чином, гамма-функція для цілих значень n N виражається через n!. Проте вона визначена і для нецілих додатних значень аргументу, тобто продовжує факторіальну функцію з дискретних значень аргументу на неперервні. Гамма-функція не є елементарною функцією. Графік цієї функції зображено на рис. 7.35. Властивості гамма-функції досить добре вивчені і значення її протабульовані в багатьох довідниках, наприклад в [19].
Наводимо без доведення формулу Стірлінга для гамма-функції:
де > 0 і 0 < ( ) < 1. Якщо в цій рівності покласти = n і помножити її на n, дістанемо
(95)
Бета- і гамма-функції пов'язані між собою співвідношенням