Формула Ньютона – Лейбніца

S(x) = F(x)-F(a). (2)

Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S(b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд

S(b) = F(b)-F(a).

Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює

b

значенню ∫ ƒ(x) dx. Тому можна зробити висновок, що

a

b

∫ ƒ(x) dx = F(b)-F(a). (3)

a

Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку[a;b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x=b i x=a.

Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так:

Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона – Лейбніца. Справді,

(кв. од.);

(кв. од.).

П р и к л а д 3. Обчислимо за формулою

Ньютона – Лейбніца площу фігури,

обмеженої зверху синусоїдою y=sin x,

знизу – віссю Ох, а з боків – прямими

.

Розв’язання:

( кв. од.).

Запишемосимволічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла:

де