Формула Ньютона – Лейбніца

Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = x² Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.

Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що

Виберемо довільну точку x є [ a; b]і проведемо через

неї пенпендикуляр хК до осі Ох. Площа фігури а А К х

змінюється зі змінною х. Позначемо цю функцію че-

рез S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при-

чому S΄(x)=ƒ(x), де y=ƒ(x) – підінтегральна функція,

графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше

кажечи, покажемо, що S (x) є первісною для ƒ(x).

Надамо змінній x приросту Δx, вважаючи ( для спрощення міркування), що Δx > 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту ΔS (x). У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a; b]функція y=ƒ(x )досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y=ƒ(x ) є неперервною на відрізку[x,x+Δx], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,

m Δx < Δ S (x) < M Δx

Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо

За непервністю функції y=ƒ(x)

lim m =lim M = ƒ(x)

Δx→0 Δx→0

функція є однією з первісних функції y=ƒ(x ).

Позначимо через F(x)будь-яку первісну для функції y=ƒ(x ). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому

S(x) = F(x)+ C. (1)

При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S(x) = 0.

Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S(x) число 0, одер-жимо C= - F(a). Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо