Постановка задачі інтерполяції функції

Виберемо в – просторі неперервних на функцій, скінчену або злічену сукупність функцій , таких, що довільна скінчена система їх є лінійно незалежною. На практиці найчастіше використовують такі системи функцій:

, , , де – деяка числова послідовність.

Коефіцієнти в (1) визначимо з умови, що наближуючий агрегат збігається у вузлах інтерполяції із значенням функції, тобто

, i=0,1,…,n(2)

З (1) та (2) випливає, що для знаходження коефіцієнтів отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

і якщо

то при довільних значеннях , i=0,1,…,n система має єдиний розвязок

, (3)

де

(4)

формується з за правилом Крамера.

Означення 5. Система функцій , i=0,1,…,n називається системою Чебишова порядка n, якщо узагальнений многочлен

,

який має більше ніж n коренів на , тотожньо рівний нулеві, тобто для всіх і=0,1,…,n.

Теорема 1. Для того, щоб для довільної функції існував узагальнений інтерполяційний многочлен для будь-якого набору вузлів , і=0,1,…,n, необхідно і досить, щоб була системою функцій Чебишова на . При виконанні цих умов узагальнений інтерполяційний многочлен буде єдиним.

Відомо, що всі три вище наведені сукупності функцій є системами функцій Чебишова на довільному .

Якщо визначник (4) розвити за і-м стовпчиком, то (3) перепишеться у вигляді

де , i,k=0,1,…,n – відповідні алгебраїчні доповнення, і тоді

Якщо згрупувати подібні члени при однакових значеннях, то отримаємо

(5)

Зауваження 1. Функції не залежать від , є лінійними комбінаціями та повністю визначаються через них та вузли інтерполяції

З (2) випливає, що

(6)

§2. Інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа