Системи координат (декартова, полярна, циліндрична, сферична). Довжина і координати вектора. Векторний простір. Лінійна залежність і незалежність системи векторів

Дійсно, якщо то

При додаванні векторів додаються їх координати.

Якщо то

2. Лінійна залежність векторів

Лінійна комбінація декількох векторів називається тривіальною, якщо всі її коефіцієнти дорівнюють нулю. Лінійна комбінація не тривіальна, якщо хоча б один із її коефіцієнтів відмінний від нуля.

Означення. Вектори називаються лінійно незалежними, якщо тільки тривіальна комбінація векторів дорівнює нулю. Якщо вектори лінійно незалежні, то із рівності випливає

В противному випадку вектори будуть лінійно залежними. Це значить, що існує нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, що дорівнює нулю. Іншими словами, існують такі коефіцієнти , що і

Якщо серед векторів є нульовий, то ці вектори лінійно залежні. Взявши при нульовому вектору коефіцієнт 1, а при всіх інших – нулі, одержимо нетривіальну лінійну комбінацію, що дорівнює нулю.

Теорема. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли один із них розкладається в лінійну комбінацію інших.

Д о в е д е н н я. Нехай лінійно залежні, тобто існують такі коефіцієнти , що і хоча б один із коефіцієнтів, наприклад,

В цьому випадку є лінійна комбінація векторів .

Дійсно, ми можемо записати

І, навпаки, нехай один із векторів, наприклад , розкладений в лінійну комбінацію інших векторів:

Звідси безпосередньо видно, що лінійна комбінація векторів з коефіцієнтами –1, дорівнює нульовому вектору. Оскільки вона нетривіальна, то вектори лінійно залежні. Теорема доведена.

Довільних два колінеарних вектори лінійно залежні, і навпаки, два лінійно залежних вектори колінеарні.

Довільних три компланарних вектори лінійно залежні, і навпаки, три лінійно залежні вектори компланарні.

Кожних чотири вектори лінійно залежні.

Ці твердження пропонуємо читачеві довести самостійно.

3. Декартова система координат

Зафіксуємо в просторі точку і розглянемо довільну точку

Радіус-вектором точки по відношенню до точки називається вектор Якщо в просторі, крім точки вибраний деякий базис, то точці можна співставити впорядковану трійку чисел – координати його радіус-вектора.

Означення. Декартовою системою координат в просторі називається сукупність точки і базису.