Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями. Використання таблиць неозначених інтегралів

План

•Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції

•Інтеграли вигляду

•Інтеграли вигляду

•Інтеграли вигляду

• Інтеграли вигляду

•Інтеграли вигляду ( - ціле, додатне число)

•Інтеграли вигляду

8.3.9. Інтегрування трансцендентних функцій

а) Усі інтеграли вигляду інтегруються в замкненому вигляді. Тут - символ раціональної функції. Справді, підстановка зводить цей інтеграл до вигляду

Приклад. За допомогою заміни інтеграл перетворюється в такий :

б) Як уже зазначалося, інтеграли зводяться до розглядуваного. Тому інтеграл нас цікавить не тільки сам по собі, а й у зв’язку з тим, що й інші інтеграли зводяться до нього.

Усі інтеграли типу інтегруються в замкненому вигляді. Підстановка перетворює інтеграл у такий: тобто до інтеграла, розглянутого в п.9.8.

Ймовірно, що способи інтегрування заданого інтеграла в розумінні більшої або меншої трудності залежатимуть від характеру функції : парна чи непарна вона за змінною або , або і і , або, можливо, і не володіє цими властивостями. Нехай

Очевидно, що в цьому випадку її можна подати

у формі

Якщо то

Тому

Звідси випливає така підстановка:

,

тобто - раціональна функція .

Отже, якщо в разі заміни на підінтегральна функція змінює знак, то доцільно є підстановка .

Цілком аналогічно, якщо в разі заміни на

то доцільною є