Лінійні однорідні рівняння

(12.40)

де і - довільні сталі.

2) Корені характеристичного рівняння – комплексні числа. Нехай . Частинні розв’язки і є комплексними функціями дійсного аргументу:

або

Неважко переконатися, що функція та , які є відповідно дійсною та уявною частинами розв’язку , також задовольняють рівнянню (12.38). Справді, якщо яка-небудь комплексна функція є розв’язком рівняння (12.38) з дійсними коефіцієнтами, то та також задовольняють це рівняння. Це випливає з таких перетворень:

а комплексна функція тоді і тільки тоді дорівнює нулеві, коли її дійсна та уявна частини дорівнюють нулеві, що й треба було довести.

Зауважимо, що розв’язки та лінійно незалежні:

Отже, загальний розв’язок рівняння (12.38) у розглядуваному випадку має вигляд

(12.41)

де і - довільні сталі.

3) Корені характеристичного рівняння дійсні й рівні: При цьому один частинний розв’язок знаходиться, як у випадку 1): Другий частинний розв’язок, лінійно незалежний від першого, будемо шукати у вигляді де - невідома функція. Знайдемо і :

Підставимо та у рівняння (12.38):

(12.42)

Оскільки - корінь характеристичного рівняння, а дискримінант дорівнює нулю (корінь кратний), то або Отже, рівняння (12.42) спрощується й після скорочення на набуває вигляду . Його загальний розв’язок отримується за допомогою інтегрування двічі і має вигляд Зокрема, якщо вибрати , розв’язок буде лінійно незалежним відносно :

Загальний інтеграл диференціального рівняння (12.38) у разі кратних коренів має вигляд

(12.43)

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

а) б) в)

У прикладі а) характеристичне рівняння має вигляд або Звідси маємо (випадок1).

Згідно з формулою (12.40) загальним розв’язком рівняння буде функція .

У прикладі б) запишемо характеристичне рівняння Його корені – комплексно спряжені числа: (випадок 2). При цьому Загальний розв’язок рівняння згідно з формулою (12.41) буде

У прикладі в) корені і характеристичного рівняння збігаються: Загальний розв’язок згідно з формулою (12.43) має вигляд