Розклад функцій в степеневий ряд. Достатні умовирозкладу в ряд Тейлора. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення

(13.59)

При будемо мати:

(13.60)

Біноміальний ряд (13.60) можна використовувати для наближених обчислень значень функцій із заданою точністю.

Приклад. Обчислити з точністю

Р о з в ‘ я з о к. Представимо підкореневе число так і тоді

Підставивши в ряд (13.60) замість а одержимо:

.

Оскільки це знакозмінний ряд , можна оцінити за теоремою Лейбніца залишок ряду

а тому з точністю до маємо:

2. Розклад в степеневий ряд деяких функцій. Застосуємо біноміальний ряд до розкладу інших функцій. Підставивши в ряд (13.59) замість вираз одержимо:

.

На основі теореми про інтегрування степеневих рядів одержимо при :

. (13.61)

Аналогічно, підставляючи в ряд (2.46) замість вираз одержимо ряд

.Інтегруючи даний ряд, будемо мати

. (13.62)

Цей ряд збігається в інтервалі . Можна було б довести, що ряд збігається при і що для цих значень сума ряду також дорівнює Тоді, поклавши в ряд (13.62) одержимо формулу для обчислення числа :

.

3. Розклад в степеневий ряд функції

Інтегруючи рівність (13.59) в межах від до (при ), одержимо:

(13.63)

Ця рівність справедлива на інтервалі

Замінюючи в формулі (13.63) на , одержимо ряд