Розклад функцій в степеневий ряд. Достатні умовирозкладу в ряд Тейлора. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення

де

Доведемо, що при довільному фіксованому . Дійсно,

Якщо фіксоване число, то знайдеться таке ціле додатне число що

Введемо позначення де ; тоді можемо написати при і т.д.

тому що

Але величина постійна, тобто не залежить від , а прямує до нуля при Тому

Оскільки то при всіх

значеннях Отже, ряд Маклорена має такий вигляд:

(13.54)

Залишковий член прямує до нуля при довільному , а тому даний ряд збігається і в якості суми має функцію при довільному

2. Розклад в ряд Маклорена функції

Аналогічно, виходячи із формули Маклорена для функції одержимо ряд

(13.55)

який збігається при всіх значеннях і представляє функцію

3. Розклад в ряд Маклорена функції

Формула Маклорена для функції має такий вигляд:

Оскільки то величина при фіксованому обмежена ( при і при ), а, значить

при довільному

Отже, ряд Маклорена для функції має такий вигляд:

(13.56)

який для всіх значень збігається і представляє функцію

Замінивши в розкладі (13.565) на , одержимо ряд

(13.57)

Цими рядами користуються для наближених обчислень значень функцій.

Приклад. Обчислити з точністю