Логiка предикатiв. Квантори

Iснує й iнший квантор, що є у певному смислi двоїстим до квантора загальностi i називається квантором iснування. Позначається вiн знаком . Якщо Q(x) - деякий предикат на множинi M, то висловлення «існує в множинi M елемент x такий, що Q(x) iстинно» записується у виглядi xQ(x) i читається скороченно «iснує такий x, що Q вiд x» або «є такий x, що Q вiд x».

Походження обраних позначень пояснюється тим, що символ  є перевернутою прописною першою лiтерою нiмецького слова «alle» або англiйського слова «all», що перекладається «усi». А символ  вiдповiдає першiй лiтерi слiв «existieren» (нiм.) або «exist» (англ.) - iснувати.

Вираз x читають також як «всi x», «для кожного x», «для довiльного x», «для будь-якого x», а вираз x - як «деякий x», «для деякого x», «знайдеться такий x» тощо.

Зазначимо також, що, окрiм введених символiчних позначень кванторiв, використовують й iншi позначення. Так, замiсть x iнодi пишуть (x), (x) або x, а замiсть x вiдповiдно - (x), (Ex) або x.Приклад 5.4. Розглянемо два бінарні предикати на множині натуральних чисел: предикат "x менше y" і предикат "x ділить y". Перший з них будемо записувати у традиційній формі - x
Важливу роль у логiцi предикатiв вiдiграє поняття областi дiї квантора, пiд якою розумiтимемо той вираз, до якого вiдноситься цей квантор. Область дiї квантора позначається за допомогою дужок. Лiва дужка, що вiдповiдає початку областi дiї, записується безпосередньо пiсля кванторної змiнної даного квантора, а вiдповiдна їй права дужка означає закiнчення областi дiї цього квантора. Там, де це не викликає невизначенностi, дужки можна опускати i замiсть x(P(x)) або x(P(x)) писати вiдповiдно xP(x) або xP(x).

Приклад 5.5. В усiх нижченаведених кванторних виразах область дiї квантора пiдкреслено.

x((3|x)(6|x)), x(3|x)(6|x), x((x2<9)(x<3)), x(x2<9)(x<3).

Перший і другий вирази, а також третій і четвертий відрізняються не лише областю дії квантора. Відмінність між ними є більш істотною, про що слід сказати окремо.

Розглянемо на унiверсальнiй множинi R всiх дiйсних чисел два вирази x2<10 i x(x2<10). Перший з них є предикатом, що залежить вiд змiнної x. Замiсть x у нього можна пiдставляти рiзнi дiйснi значення i отримувати певнi висловлення (iстиннi чи хибнi). Та сама предметна змiнна x входить у другий вираз iнакше. Якщо замiсть неї пiдставити будь-яке дiйсне значення, дiстанемо беззмiстовний вираз.

Нехай P(x) - деякий предикат на M. Перехiд вiд P(x) до xP(x) або xP(x) називається зв’язуванням змiнної x. Iншi назви - навiшування квантора на змiнну x (або на предикат P(x)), або квантифiкацiя змiнної x.

Змiнна x, на яку навiшено квантор, називається зв’язаною, у противному разi змiнна x називається вiльною.

Зв’язана змiнна, як було продемонстровано вище, вже не є змiнною у класичному розумiннi цього поняття. Вона потрiбна лише для iдентифiкацiї терма, вiд якого залежить вiдповiдна пропозицiйна форма. Вираз xP(x) не залежить вiд x i при фiксованих P i M має певне значення. Звiдси, зокрема, випливає, що можна здiйснювати перейменування зв’язаної змiнної (тобто перехiд вiд xP(x) до tP(t)) i воно не змiнює значення iстинностi виразу.

Зауважимо, що розглядувана ситуацiя не є винятком і доволі часто зустрічається в інших розділах математики. Наприклад, у виразах f(x)dx, x2 i dj параметри a, b, c, k i n - є змінними, замість яких можна пiдставляти певнi значення, а параметри x i j - це зв’язанi змiннi, пiдстановка замiсть яких будь-яких значень не має жодного смислу.

Навiшувати квантори можна й на багатомiснi предикати. Наприклад, застосовуючи квантори  i  до змiнних x i y двомiсного предиката A(x,y), отримаємо чотири рiзнi одномiснi предикати xA(x,y), xA(x,y), yA(x,y) i yA(x,y). У перших двох змiнна x є зв’язаною, а змiнна y - вiльною, а у двох останнiх - навпаки.