Застосування логiки предикатiв

Отже, нi для арифметики i теорiї чисел, нi тим бiльше для багатших математичних теорiй не iснує адекватних формалiзацiй. Цей досить сумний, але об’єктивний факт однак не заперечує i не знецiнює iдеологію формалiзму. Формальний пiдхiд залишається основним конструктивним засобом побудови i дослiдження математичних теорiй. Потенцiйна неможливiсть адекватної i повної формалiзацiї теорiї означає, що належить або видiляти i обмежуватись лише тими фрагментами теорiї, якi формалiзуються, або ж будувати iншу потужнішу формальну теорiю (на жаль, знову неповну), яка розширить сферу дiї формалiзму. Зокрема, використавши метод трансфiнiтної iндукцiї, який не може бути формалiзований у формальнiй арифметицi, представник гiльбертівської школи Герхард Генцен довiв несуперечнiсть формальної арифметики i окремих роздiлiв математичного аналiзу.

У нашому роздiлi, присвяченому елементам математичної логiки, не надається можливим висвiтлити цi цiкавi й актуальнi проблеми у достатнiй мiрi. Детальнiше i глибше з iсторiєю та сучасним станом дослiджень у галузi математичної логiки i обгрунтування засад математики можна (i варто) ознайомитись зi спецiальної лiтератури [.......].

Окрiм суто формальних побудов у класичному численнi предикатiв мова так званого вузького числення предикатiв використовується для запису тверджень (властивостей, аксіом, лем, теорем) i означень у рiзних конкретних роздiлах математики. Використання символiки логiки предикатiв дозволяє досягти бiльшої строгостi i формальностi у викладеннi математичних результатiв, уникнути неоднозначностi i багатослiвностi звичайної мови. Досвiд свiдчить, що засвоєння методики символiчного запису сприяє як полегшенню розумiння смислу досить складних математичних тверджень, так i успiшнiшiй побудовi багатоетапних логiчних ланцюжкiв для розв’язання конкретних задач.

Наприклад, твердження про те, що довiльне цiле число a можна роздiлити з остачею на цiле число b, яке не дорiвнює нулю, може бути записане так:

(aZ)(bZ)[(b0)((qZ)(rZ)(a = bq+r)((r = 0)((0
Часто, коли предметна область вiдома i не змiнюється, замiсть (aZ) записують просто a. У наведеному виразi всi предикатнi букви для позначення вiдношень = , , <,  i всi знаки арифметичних i логiчних операцiй мають звичайний смисл. Словесно записане твердження читається так: «Для цiлих a i b, якщо b не дорiвнює нулю, iснують цiлi числа q i r, для яких a = bq +r i r або дорiвнює 0, або r бiльше нуля i менше |b|».

Предикатнi формули зручно використовувати для запису означень рiзних понять. Вище з їхньою допомогою були означенi вiдношення (предикати) рiвностi, еквiвалентностi i порядку. Подiбним чином можна записати означення, наприклад, предиката x|y «x дiлить y» або «x є дiльником y» на множинi цiлих чисел: k(y = kx). Часто такi означення записують у виглядi: x|y = k(y = kx).

Замiсть знака рiвносильностi = пишуть також знак , який читається «за означенням».

За допомогою предиката x|y можна природно означити унарний предикат «x - просте число» (позначимо його через P(x)):

P(x) y((y|x)((y = 1)(y = -1)(y = x)(y = -x))).

Наведемо ще декiлька прикладiв означень з математичного аналiзу. Вiдоме означення границi числової послiдовностi можна записати так:

lim ai = a (>0)(kN)(iNi>k)(|ai -a|<).

Аналогiчно можуть бути записанi класичнi означення рiзних варiантiв поняття неперервностi дiйсної фунцiї f:

1) фунцiя f(x) неперервна в точцi a

(>0)(>0)(xR)((|x-a|<)(|f(a)-f(x)|<));

2) функцiя f(x) неперервна на iнтервалi (a,b)(c(a,b))(>0)(>0)(x(a,b))((|x-c|<)(|f(c)-f(x)|<));

3) функцiя f(x) рiвномiрно неперервна на iнтервалi (a,b)