Застосування логiки предикатiв

Реферат на тему:

Застосування логiки предикатiв

Числення предикатiв, яке не мiстить функцiональних букв i предметних констант, називається чистим численням предикатiв. Досi мова йшла переважно саме про чисте числення предикатiв. Такi числення мiстять тiльки означенi вище так званi логiчнi аксiоми (або схеми аксiом).

Прикладнi числення (теорiї першого порядку) характеризуються тим, що в них до логiчних аксiом додаються власнi спецiальнi аксiоми, в яких визначають властивостi конкретних (iндивiдуальних) предикатних букв i предметних констант з певної предметної областi.

Найтиповiшi приклади iндивiдуальних предикатних букв - предикати = (рiвностi) i  (порядку), а функцiональних букв - знаки арифметичних операцiй +, , , / тощо та iнших популярних математичних функцiй. Як предметнi областi найчастiше виступають множина N натуральних чисел, множина Z цiлих чисел, множина R дiйсних чисел, булеан (A) деякої множини A та iн.

Бiльшiсть прикладних числень мiстить предикат рiвностi = i аксiоми, що його визначають. Наприклад, аксiомами для рiвностi можуть бути такi:

E1. x(x = x)

E2. (x = y)(F(x,x)F(x,y)),

де F(x,y) отримано з F(x,x) шляхом замiни деяких (не обов’язково всiх) вõоджень x на y за умови, що y у цих входженнях також залишається вiльним.

Будь-яка теорiя, в якiй E1 i E2 є аксiомами або теоремами, називається теорiєю (або численням) з рiвнiстю.

З аксiом E1 i E2 неважко вивести теореми, що описують основнi властивостi рiвностi - рефлексивнiсть, симетричнiсть i транзитивнiсть:

t (t = t)

(x = y)(y = x)

(x = y)((y = z)(x = z)).

Аналогiчно можуть бути введенi три аксiоми, що задають бiльш загальний предикат - предикат еквiвалентностi E(x,y):

Q1. xE(x,x)

Q2. xy(E(x,y)E(y,x))

Q3. xyz((E(x,y)E(y,z))E(x,y)).

Iншим прикладним численням є теорiя часткового порядку, яка мiстить три конкретнi аксiоми для предиката :

O1. x(xx)

O2. xy(((xy)(yx))(x = y))

O3. xyz((xy)((yz)(xz))).

Приєднавши до цих аксiом аксiому