Елементи логіки

причому твердження x P(x) і x P(x) нерівносильні.Розглянемо деякі з можливих застосувань пропозиційних зв'язок до виразів із кванторами. Заперечення (x P(x)) читається як "неістинно, що всі значення x мають властивість P", тобто як "існує значення x, що не має властивості P". Таке речення можна позначити як x P(x). Таким чином,

(x P(x))  x P(x).

Аналогічно

(x P(x))  x P(x).

Висловлення x P(x)  x Q(x) читається як "всі значення x мають властивість P і всі значення x мають властивість Q", тобто "всі значення x мають властивість P і властивість Q". Таким чином,

(x P(x))(x Q(x))  x (P(x)Q(x)).

Висловлення x P(x)  x Q(x) читається як "усі значення x мають властивість P або всі значення x мають властивість Q". З цього речення випливає, що "усі значення x мають властивість P або властивість Q", але ці два речення не рівносильні. Таким чином, x(P(x)Q(x)) є логічним висновком висловлення (x P(x))(x Q(x)), тобто

((x P(x))(x Q(x)))  x(P(x)Q(x)),

але вони нерівносильні.

Приклад. Якщо P(x) позначає речення "x – парне число", а Q(x) – "x – непарне число", то висловлення x(P(x)Q(x)) є істинним, а (x P(x))(x Q(x)) – хибним.

Насамкінець, розглянемо речення з двома й більше кванторами. Вони з'являються, коли йдеться про властивості пар, трійок тощо змінних. Наприклад, речення "При будь-якому натуральному значенні x існує значення y, таке, що x є дільником y" можна записати як

x (y D(x, y)),

де D(x, y) позначає речення "x є дільником y".

Речення вигляду "При будь-якому значенні x справджується, що при будь-якому значенні y істинно A(x, y)" можна позначити так:

x (y A(x, y)).

Будемо опускати дужки, записуючи, наприклад, x y D(x, y) або x y A(x, y). Останній вираз можна прочитати також, як "При будь-якому значенні x і при будь-якому значенні y істинно A(x, y)".

Аналогічно речення вигляду " При будь-якому значенні x і при будь-якому значенні y і при будь-якому значенні z істинно A(x, y, z)" можна позначити виразом

x y z A(x, y, z).

І так далі. Розглянемо, наприклад, твердження великої теореми Ферма:

Рівняння zn=xn+yn, де n – ціле число, більше 2, не має розв'язків у цілих додатних числах.

Одним із можливих записів цього твердження є такий: