Геометричний пошук

Нехай k – кількість смуг планарного графа G. Позначимо через L список смуг, кожний елемент L[i] (1 i  k) якого містить вказівник li на список відсортованих (зліва направо) відрізків у смузі.

Оскільки граф може мати O(N) смуг, а на впорядкування відрізків у кожній смузі витрачається час O(N * log N), то для побудови структур даних L та li (1 i  k) необхідно витратити час O(N2 * log N).

Локалізація точки методом смуг

1. Використовуючи y - координату точки z, методом бінарного пошуку у списку смуг L знайти смугу j, в якій лежить точка z.

2. Використовуючи x - координату точки z, методом бінарного пошуку у списку відрізків li знайти відрізки e1 та e2, між якими лежить точка z.

Витрати по пам’яті дорівнюють O(N2), оскільки існують такі планарні графи, сумарна кількість відрізків в полосах яких може досягати O(N2). Справа на малюнку біля кожної смуги вказано кількість відрізків, яка знаходиться в ній.

Якщо ребро графа проходить через декілька смуг, то ці смуги йдуть послідовно одна за іншою. Час передобробки можна скоротити якщо використати метод замітання площини.

Алгоритм плоского замітання характеризується двома основними структурами даних:

1. Список точок подій – послідовність позицій, що назначаються для замітаючої прямої.

2. Статус замітаючої прямої – опис перетину замітаючої прямої із замітаємим геометричним об’єктом.

Якщо замітання проводити знизу вгору, то моментальним статусом замітаючої прямої буде впорядкована зліва направо послідовність ребер графа, що перетинають ту смугу, де знаходиться замітаюча пряма. Ця послідовність (порядок ребер) не змінюється всередині смуги, але змінюється на границі з наступною смугою, коли досягається наступна вершина графа. Статус замітаючої прямої можна зберігати у формі дерева, збалансованого за висотою (2-3 дерева). Списком точок подій є перелічені знизу вгору вершини графа.

Передобробка. Побудова структур даних.

1. Відсортувати вершини графа G по зростанню y координати. Нехай відсортованим списком буде {v1, v2, ..., vn}. Побудуємо список L[i], з кожним елементом якого пов’яжемо дві точки vi та vi+1 графа G, одна з яких знаходиться на нижній границі смуги, а друга – на верхній. При цьому нехай вершина v0 має мінімальну y - координату, а vn+1 – максимальну y - координату. Умовоно орієнтуємо ребра графу G, які направлені від вершини з меншою y - координатою до вершини з більшою y - координатою.

2. Для смуги L[1] побудуємо порожнє 2 - 3 дерево T1. Список l1 покладемо порожнім.

3. k  2.

4. Розглянемо вершину vk-1 та видалимо всі вебра, які входять у vk-1 з дерева Tk-1 та вставимо у Tk-1 всі ребра, що виходять з vk-1. Отримали дерево Tk для L[k].

5. Обійдемо дерево Tk зліва направо, заносячи ребра до списку lk.

6. if k n then k k + 1 and goto 4;Крок 1 алгоритму передобробки вимагає O(N * log N) часу. Оскільки кожна смуга містить O(N) відрізків, то розмір всіх дерев Tk , k = 1, ..., n + 1, дорівнює O(N), а глибина – O(log N). Тому час вставки та видалення ребра дорівнює O(log N). Кожне ребро графу G лише один раз додається та один раз видаляється зі структури даних. Якщо граф G представлено реберним списком з подвійними зв’язками, то пошук вхідних та вихідних ребер для вершини vk-1 на 4-му кроці вимагатиме константний час. Оскільки граф G має O(N) ребер, то на виконання усіх 4-их кроків алгоритму витратиться O(N * log N) часу. Виконання 5 кроку відбувається за час O(N), оскільки список lk може містити O(N) ребер. Оскільки утворюється N дерев Tk, то на виконання усіх 5-их кроків алгоритму необхідно витратити O(N2) часу.