Геометричний пошук

Означення. Пошукове повідомлення, у відповідності з яким ведеться перегляд файла, називається запитом.

Нехай є набір геометричних даних і треба встановити, чи мають вони певну властивість. Якщо запит виникає один раз, то його будемо називати унікальним. Запити, обробка яких повторюється декілька разів в одному і тому ж файлі, називаються масовими.

Міри оцінки запиту:

1. Час запиту. Скільки часу необхідно в середньому, у найкращому та найгіршому випадках.

2. Пам’ять. Скільки пам’яті необхідно для зберігання структури даних.

3. Час передобробки. Скільки часу необхідно для організації даних перед пошуком.

4. Час корегування. Дано елемент даних. Який час необхідно використати на його видалення чи вставку до структури даних.

Означення. Передобробкою будемо називати процес розташування даних у зручній для подальшої обробки структурі даних.

Задача. Геометричний пошук. Дано планарний граф G з N вершинами та точка z. Необхідно встановити область графу G, в якій розташована точка z.

Час передобробки не може бути меншим за O(N), оскільки навіть процес читання вершин вимагає час O(N). Витрати по пам’яті не можуть бути меншими за O(N) при зберіганні у довільній структурі даних, оскільки навіть для зберігання самого графа G вимагаються витрати по пам’яті O(N). Запит до структури даних, яка містить N елементів, вимагає як мінімум часу O(N * log N).

Регіональний пошук

Задача. Регіональний пошук. Дано N точок на площині. Скільки точок лежить всередині заданого прямокутника, сторони якого паралельні координатним осям? Тобто скільки точок (x, y) задовольняє нерівностям a x b, c y d для заданих a, b, c, d?

Метод локусів. (Локус – це застарілий термін “геометричне місце точок”). Запиту ставиться у відповідність точка у зручному для пошуку просторі, а цей простір розбивається на області (локуси), в межах яких відповідь не змінюється.

Означення. Точка (вектор) v домінує над w тоді і тільки тоді коли для усіх індексів i справедлива умова vi wi.

Q(P1) = 14, Q(P2) = 9, Q(P3) = 1, Q(P4) = 2. N(P1P2P3P4) = 14 - 9 - 2 + 1 = 4

На площині точка v домінує над w тоді і тільки тоді коли w лежить у лівому нижньому квадранті, що визначається v. Позначимо через Q(p) кількість точок, над якими домінує p. Кількість точок N(p1p2p3p4) у прямокутнику p1p2p3p4 визначається наступним чином:

N(p1p2p3p4) = Q(p1) - Q(p2) - Q(p4) + Q(p3)

Задачу регіонального пошуку зведено до задачі обробки запитів про домінування для чотирьох точок. Опустимо із заданих точок на вісі x та y перпендикуляри, а отримані лінії продовжимо у нескінченність. Утворилася решітка з (N + 1)2 прямокутників.

Теорема. Часови оцінки запропонованого алгоритму: пердобробка – O(N2), пам’ять – O(N2), запит – O(log N).

Задачі локалізації точки

Задача. Належність точки простому многокутнику. Дано простий многокутник (N - кутник) P та точка z. Чи знаходиться точка z в середині P?

Алгоритм. Проведемо через точку z горизонталь l. Якщо l не перетинає P, то z – зовнішня точка. Припустимо, що l перетинає P та не проходить через жодну його вершину. Нехай L – кількість точок перетину прямої l з границею P зліва від z. Очевидно, що точка z лежить всередині многокутника тоді і тільки тоді, коли L непарне.