Основи двійкової арифметики. Порозрядні логічні операції (Булівські операції)

0 0 00

0 0 10

0 1 00

0 1 11

1 0 00

1 0 11

1 1 01

1 1 11

Її назва зумовлена тим, що її значення на кожному наборі збігається з більшістю значень змінних у цьому наборі.

Множину всіх n-місних функцій позначимо P(n), а множину всіх функцій, тобто об'єднання P(n) по всіх n – P2.

Перейдемо до означення таких понять, як алгебра бульових функцій і алгебра формул.

Алгебри бульових функцій, як і всі інші алгебри, визначаються своїми носіями та сигнатурами операцій. Носіями в алгебрах бульових функцій є множини функцій. Сигнатуру складає операція суперпозиції, або підстановки.

Означення. Нехай є n-місна функція f(n)( ) і n функцій g1(y1,1, y1,2, …, y1,m1), g2(y2,1, y2,2, …, y2,m2), …, gn(yn,1, yn,2, …, yn,mn), залежні від змінних з деякої їх множини Y={y1, y2, …, yk}. Суперпозицією, або підстановкою функцій g1, g2, …, gn у функцію f(n) називається функція h(m)(y1, y2, …, ym), кожне значення якої h(1, 2, …, m) визначається як

f(n)(g1(1,1, 1,2, …, 1,m1), g2(2,1, 2,2, …, 2,m2), …, gn(n,1, n,2, …, n,mn)).

Суперпозиція ще позначається як

S(f(n); g1(y1,1, y1,2, …, y1,m1), g2(y2,1, y2,2, …, y2,m2), …, gn(yn,1, yn,2, …, yn,mn)).

Приклади.

1. h1(x, y, z)=S(; xy, yz) задається наступною таблицею:x y zxyyzh1(x, y, z)

0 0 0010

0 0 1010

0 1 0100

0 1 1111

1 0 0111

1 0 1111