Швидкі алгоритми сортування

Просіяти елемент уздовж відзначеного шляху;

B[I] := корінь дерева

end;

Обґрунтування правильності алгоритму очевидно, оскільки кожне чергове просівання викидає в масив У найменший з елементів масиву А, що залишилися.

Сортуюче дерево можна реалізувати, використовуючи або двовимірний масив, або одномірний масиві ST[1..N], де N = 2n-1 (див. наступний розділ). Оцінимо складність алгоритму в термінах M(n), C(n). Насамперед відзначимо, що алгоритм TreeSort працює однаково на усіх входах, так що його складність у гіршому випадку збігається зі складністю в середньому.

Припустимо, що n - ступінь 2 (n = 2l). Тоді сортуюче дерево має l + 1 рівень (глибину l). Побудова рівня I вимагає n / 2I порівнянь і пересилань. Таким чином, I-ий етап має складність:

C1(n) = n/2+n/4+ ... + 2+1 = n-1, M1(n) = C1(n) = n - 1

Для того, щоб оцінити складність II-го етапу З2(n) і M2(n) помітимо, що кожен шлях просівання має довжину l, тому кількість порівнянь і пересилань при просіванні одного елемента пропорційно l. Таким чином, M2(n) = O(l n), C2(n) = O(l n).

Оскільки l = log2n, M2(n)=O(n log2 n)), C2(n)=O(n log2 n), Але З(n) = C1(n) + C2(n), M(n) = M1(n) + M2(n). Тому що C1(n) < C2(n), M1(n) < M2(n), остаточно одержуємо оцінки складності алгоритму TreeSort за часом:

M(n) = O(n log2 n), C(n) = O(n log2 n),

У загальному випадку, коли n не є ступенем 2, сортуюче дерево будується трохи інакше. “Зайвий” елемент (елемент, для якого немає пари) переноситься на наступний рівень. Легко бачити, що при цьому глибина сортуючого дерева дорівнює [log2 n] + 1. Удосконалення алгоритму II етапу очевидно. Оцінки при цьому змінюють лише мультиплікативні множники. Алгоритм TreeSort має істотний недолік: для нього потрібно додаткова пам'ять розміру 2n - 1.

1.2. Пірамідальне сортування

Алгоритм пірамідального сортування HeapSort також використовує представлення масиву у виді дерева. Цей алгоритм не вимагає допоміжних масивів, сортуючи “на місці”. Розглянемо спочатку метод представлення масиву у виді дерева:

Нехай A[1 .. n] - деякий масив. Зіставимо йому дерево, використовуючи наступні правила:

1.A[1] - корінь дерева ;

2.Якщо A[i] - вузол дерева і 2i  n,

то A[2*i] - вузол - “лівий син” вузла A[i]

3.Якщо A[i] - вузол дерева і 2i + 1  n,

то A[2*i+1] - вузол - “правий син” вузла A[i]

Правила 1-3 визначають у масиві структуру дерева, причому глибина дерева не перевершує [log2 n] + 1. Вони ж задають спосіб руху по дереву від кореня до листків. Рух вгору задається правилом 4: