Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Гауса

Зауважимо, що при всіх можливих виборах значень вільних невідо¬мих за допомогою системи (5) щойно описаним способом буде знайдено всі розв'язки системи 5 (Л'). Іншими словами, кожен розв'язок системи 5 (Л') можна дістати описаним способом при відповідному виборі значень вільних кевідо?»ійх. -

Нехай (г'і, ід, ..., і'„) — довільно вибраний розв'язок системи 5 (Л'). Тоді він є розв'язком також і системи (5), еквівалентної системі 5 (Л').

Отже, ^, 4ц ^*.» ••• •к єтими єдиними'значеннями головних невідомих, які дістаємо за допомогою системи (5), якщо вільним невідомим на¬дати значень, що є компонентами розв'язку (/і, /д, ..., 1^).

З викладеного вище випливає справедливість таких тверджень.

Теорема 1. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки то¬ді, коли вона перетворюється'на ступінчасту систему, в якій немає рівнянь вигляду 0 == ^' (Ь Ф 0).

Теорема 2. Сумісна система лінійних рівнянь є визначеною тоді і тільки тоді, коли в ступінчастій системі, в яку вона перетворюєть¬ся, число рівнянь г дорівнює числу невідомих п.

З цих теорем випливають такі наслідки.

Наслідок 1. Система п лінійних рівнянь з п невідомими е визна¬ченою тоді і тільки тоді, коли вона перетворюється на ступінчасту систему, в якій а\\ =^0, 0:22 ^ 0, ..., Опп ^ 0.

•< Нехай дану систему п лінійних рівнянь з п невідомими перетво¬рено на ступінчасту систему, в якій ац Ф 0, а^з Ф 0, ..., а'пп Ф 0. У такій ступінчастій системі, очевидно, немає рівнянь вигляду 0 == = Ь' (Ь' -ф. 0) і число рівнянь дорівнює числу невідомих. Тому, за теоремою 1, дана система лінійних рівнянь сумісна, а за теоремою 2, вона визначена. Навпаки, якщо дана система п лінійних рівнянь з п невідомими визначена, то за теоремою 1, у ступінчастій системі, на яку вона перетворюється, немає рівнянь вигляду 0 = Ь', (Ь' ^= 0) і, за теоремою 2, число рівнянь у ступінчастій системіїдорівнює п. Отже, в ступінчастій системі а\\ ^ О, агч ^ 0, ..., а'пп Ф 0. >•

Наслідок 2. Сумісна система т лінійних рівнянь з п невідомими Їіри т <п є невизначеною.

•^ Справді, сумісна система т лінійних рівнянь з п невідомими при т •< п перетворюється на .ступінчасту систему, в якій число рівняньг менше, ніж число невідомих п, і тому, за теоремою 2, вона є невизна¬ченою. ^

Лінійне рівняння -, . і—.йй а^+а,х,+ ... +а^==6 ^: °0'

називається однорідним, якщо його вільний член Ь дорівнює нулю. Система лінійних рівнянь називається однорідною лінійною системою або системою лінійних однорідних рівнянь, якщо всі її рівняння однорідні, тобто якщо всі її вільні члени дорівнюють нулю.

Застосуємо одержані вище результати до однорідної лінійної системи. Нехай дано довільну систему лінійних однорідних рівнянь

йц^і + аі2^2 + • • • + ащХп =0, 021-^1 + 022^2 4- •-• • + а2пХп = 0, ^

Ог.Л^ -т- ОтіХг — • • • + СІтпХп =-- 0. ,

Ця система сумісна, оскільки вона має нульовий розв'язок (О, О, ,.., 0).-Це узгоджується й з доведеною вище теоремою 1. Справді, оскільки всі вільні члени системи (6) дорівнюють нулю, то вона пе¬ретворюється на ступінчасту систему, в якій немає рівнянь вигляду 0=о (&^0). ' - '

Якщо система (6) перетворюється на ступінчасту ,-истему,. в якій число рівнянь /• дорівнює числу невідомих п, то за теоремою2, вона має єдиний розв'язок — нульовий. Якщо ж система (6) перетворю¬ється на ступінчасту систему, в якій число рівнянь ,'• у.енше, ніж число невідомих п, то множина її розв'язків нескінченна, і, отже, вона має ненульові розв'язки, тобто розв'язки, в яких деякі (а можливо й усі) компоненти відмінні від нуля.