ПАСКАЛЬ: ЦИКЛ "ПОКИ" ТА ЙОГО ВИКОРИСТАННЯ

writeln(i, ' ', x, ' ', y)

end;

2. За цілим A>0 обчислити найбільше n таке, що n! A.

3.* Написати функцію обчислення n!, де n 0 (0!=1).

2. Рекурентні послідовності та співвідношення

2.1. Деталі конструктора

У прикладі 4.1 змінна p у процесі виконання операторів приймала значення 1, a, a2, a3, … , an. У цій послідовності перший член 1, а кожний наступний дорівнює попередньому, помноженому на a. Позначивши члени послідовності через p0, p1, p2, ... pn, маємо рівність: pi=pi-1*a при i=1,2,…,n. Така рівність, що виражає член послідовності через попередні (один або кілька), називається рекурентним співвідношенням.

"Рекурентний" означає "зворотний". Справді, елемент послідовності тут визначається через попередні, і для його обчислення треба повернутися до них. Усім добре відомі рекурентні співвідношення вигляду an=an-1+d або bn=bn-1 q – їм задовольняють члени відповідно арифметичних або геометричних прогресій. Конкретна ж прогресія, тобто послідовність чисел, задається першим членом a1 і різницею d (або знаменником q). Власне, послідовність степенів у прикладі 4.1 p0, p1, p2, … – геометрична прогресія: вона визначається першим членом p0=1 і рекурентним співвідношенням pi=pi-1*a при будь-якому i>0.

У прикладі 4.2 змінна n послідовно приймала значення, що утворюють арифметичну прогресію з першим членом 1 і різницею 1. Послідовність же значень змінної f не була прогресією, але визначалася першим членом f1=1 і співвідношенням fn=fn-1 n при n>1.

Послідовність, члени якої задовольняють деяке рекурентне співвідношення, також називається рекурентною.

Приклад 4.3. Розглянемо послідовність {f} чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … , у якій f1=f2=1, а наступні члени задаються рекурентним співвідношенням

fn=fn-2+fn-1, n>2.

Вона називається послідовністю чисел Фібоначчі – за прізвиськом Леонардо Пізанського, який першим її описав. За першими двома її членами можна обчислити третій. Для обчислення четвертого перший член уже не потрібний, тому що f4=f2+f3. Для обчислення п'ятого достатньо пам'ятати лише третій і четвертий тощо. Обчислюючи члени послідовності один за одним, ми дістанемося будь-якого, почавши з перших двох. При цьому щоразу ми використовуємо лише два останніх значення і, обчисливши наступне, "забуваємо" перше з двох використаних.

Нехай дано номер n, n>2, і треба обчислити fn. Опишемо ці обчислення. З попередніх міркувань випливає, що потрібні дві змінні для двох сусідніх членів і третя для наступного (назвемо їх fa, fb і fc), а також змінна m для зберігання номера останнього з обчислених членів.

Спочатку fa=1, fb=1, m=2, (*)

потім обчислимо fc:=fa+fb і збільшимо m на 1. Якщо значення fb і fc зробити відповідно значеннями fa і fb (fa:=fb, fb:=fc), то обчислення четвертого члена можна задати таким самим оператором fc:=fa+fb. Отже,

поки m
fc:=fa+fb, m:=m+1, fa:=fb, fb:=fc. (**)

Очевидно, що з кожним виконанням fc:=fa+fb, m:=m+1 ми переходимо до наступного члена послідовності і в m запам'ятовуємо його номер. Оскільки значення m щоразу зростає, зрештою виявиться, що m=n, умова m