ПІФАГОР САМОСЬКИИ (близько 580—500 PP. до н. е.)

1+2 + 3+ ... + ...п = — трикутні числа,

1+3 + 5+ ... + (2n-1)=n2 — квадратні числа,

2 + 4 + 6+ ... +2n=n (n+1) — прямокутні числа.

Із сказаного вище видно, що Піфагора та його учнів числа цікавили тільки в теоретичному плані. Вивчення дій з числами піфагорійців цікавило мало.

Але дослідження, проведені піфагорійцями над числами та їх властивостями, поклали початок новій науці — геометричній алгебрі. Величини розглядалися тут як відрізки. Це мало величезне значення для дальшого розвитку математики.

Дослідження Піфагора та його учнів у галузі геометрії також були досить успішними. Але і в геометрії вони шукали підтверджень своїх філософських ідеалістичних поглядів і відповідно пояснювали геометричні істини. Так, піфагорійці твердили, що всі геометричні тіла визначаються співвідношенням їх числових характеристик. Куб, наприклад, визначається числами 2, 6 і 8 за кількістю ребер, граней і вершин і, що найголовніше, ці числа утворюють гармонічну пропорцію:

Велику увагу піфагорійці приділяли дослідженням властивостей прямокутних трикутників, сторони яких визначаються цілими числами. Можна припустити, що найпростіший з таких трикутників, так званий єгипетський трикутник з сторонами 3, 4, 5, був відомий Піфагору ще з часів його подорожі до Єгипту. Піфагор вивів правило знаходження величини сторін таких трикутників. Тепер це правило ми сформулювали б так: нехай а — будь-яке непарне число. Вважатимемо це число довжиною одного з катетів прямокутного трикутника. Віднявши від його квадрата одиницю і поділивши на два, дістанемо величину більшого катета; до величини більшого катета додамо одиницю і дістанемо гіпотенузу. Оскільки а ціле непарне число, то довжини другого катета і гіпотенузи також цілі числа. Те, що в результаті дістаємо справді катети і гіпотенузу прямокутного трикутника, випливає з рівності:

Наприклад, якщо а = 3, то сторони трикутника дорівнюють 3, 4, 5; якщо а = 5, то сторони дорівнюють 5, 12, 13; якщо а = 7, то сторони будуть 7, 24, 25 тощо.

Прямокутний трикутник піфагорійці вважали найкращою і найдосконалішою фігурою. Одним із способів побудови такого трикутника був поділ правильного трикутника пополам. Прямокутні трикутники, довжини сторін яких — цілі числа, утворюють окремий клас, для якого справджується теорема, названа ім'ям Піфагора, хоч вона була відома задовго до нього вавілонянам. За теоремою Піфагора сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі (дивись малюнок).

Можливо, що вивчення властивостей прямокутних трикутників привело піфагорійців до відкриття несумірності відрізків. Але це відкриття суперечило філософській теорії про «гармонію світу». Виявилося, що числом не можна виміряти довжину прямолінійного відрізка - діагоналі квадрата, сторона якого дорівнює одиниці. Пояснити це Піфагор та його учні не могли, тому і тримали своє відкриття в суворій таємниці. Збереглась легенда, що один з піфагорійців, Гіпас, розголосив таємницю про ірраціональне число. Покараний богами за зраду, він загинув у морі під час бурі.

Піфагорійці знали, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 2d, що навколо однієї точки на площині можна розмістити 4 квадрати, 6 правильних трикутників, 3 правильні шестикутники. Вони вміли будувати правильний п'ятикутник, але цей спосіб побудови до нас не дійшов.

Евклід у своїх творах приводить цікавий спосіб побудови такого п'ятикутника, в якому не застосовується поділ радіуса описаного кола в кратному і середньому відношенні. Він спочатку будує вписаний рівнобедрений трикутник, у якому кути при основі вдвоє більші від кута при вершині. Кути при основі мають по 72°, а при вершині — 36°. Якщо провести бісектриси кутів при основі, то коло поділиться на 5 рівних частин. (Це окрема задача).

Можливо, що піфагорійцям цей спосіб побудови правильного вписаного п'ятикутника був відомий.

Побудови правильних плоских фігур, зокрема п'ятикутника, а отже, і десятикутника, безпосередньо підвели піфагорійців до побудови правильних многогранників. За свідченнями деяких істориків Піфагор і його учні вміли будувати всі п'яти, видів правильних многогранників і, зокрема, такі складні многогранники, як додекаедр або ікосаедр. Це було на той час значним досягненням.Деякі з істориків пізнішого часу свідчили, що піфагорійцям було відоме поняття ізогіериметрії. Найпростіша ізопериметрична задача — це знаходження серед усіх кривих даного периметра тієї кривої, яка обмежує фігуру найбільшої площі. Піфагорійці знали розв'язок цієї задачі: кривою є коло. Просторовим аналогом ізопериметричної задачі є задача про відшукання замкненої поверхні заданої площі, яка обмежує тіло найбільшого об'єму. Шуканою поверхнею є сфера. При цьому, на догоду своїм релігійним уявленням про світ, вони стверджували, що куля є найблагородніша просторова фігура, а круг — найдосконаліша плоска фігура.