ПІФАГОР САМОСЬКИИ (близько 580—500 PP. до н. е.)

Після Фалеса Мілетського визначну роль у розвитку математики відіграв видатний представник еллінської культури — філософ і математик Піфагор. Точних історичних даних про життя і діяльність Піфагора не збереглося Відомості про нього знаходимо лише в окремих висловлюваннях, спогадах і коментарях до наукових праць авторів пізнішого часу.

За переказами, Піфагор народився близько 580 р. до н. е. на о. Самос біля іонійського узбережжя Середземного моря, в багатій купецькій сім'ї. Перші наукові знання він здобув від ученого Ферекіда зм. Сіроса. Згодом Піфагор познайомився з уже відомим на той час філософом-математиком Фалесом і за його порадою вирушив до Єгипту — центру тодішньої наукової і дослідницької діяльності. Проживши в Єгипті 22 роки і у Вавілоні 12 років, він здобув глибокі знання з природничих і математичних наук. Повернувшись на о. Самос, Піфагор планував створити філософську школу. Але з невідомих причин він незабаром залишив Самос і оселився в м. Кротоні — грецькій колонії на півдні Італії. Тут Піфагор знайшов сприятливі умови для своєї діяльності. Він зібрав навколо себе групу однодумців, головним чином аристократів, і створив таємний гурток. Члени гуртка вивчали різні питання філософії і математики. Піфагорійська школа розширювалася, з'явилися її відділення в інших містах. Але діяльність піфагорійців мала таємний характер. Нових членів до школи Піфагора приймали за особливим ритуалом. Кожний новий член гуртка давав клятву зберігати в таємниці все, що відбувається у школі, а також не розповідати нічого про її засновника Піфагора, якого вважали пророком. Члени піфагорійської школи мали спеціальний знак — пентаграму (правильний п'ятикутник), за яким вони впізнавали один одного.

Історичні умови того часу (кінець VI—початок V ст. до н. е.) характеризуються широким рухом народу (демосу) проти влади аристократів. Хвилі народного гніву докотилися і до Кротона. Рятуючись від нього, "Піфагор разом із своїми учнями переїхав до сусіднього міста Тарента. Але й тут народ рішуче засудив реакційну роль таємної організації піфагорійців. У Метапонті, куди Піфагор утік з Тарента, в одній з нічних вуличних сутичок обірвалося життя 80-річного вченого. Його учні змушені були розійтися по всій Греції. Щоб зрозуміти роль піфагорійської школи в розвитку математичної науки, слід охарактеризувати її філософське вчення. Піфагорійці вважали, що в природі існують дух і матерія, і надавали числам містичного значення. Вони гадали, що речі — це відображення чисел, число — це закон і зв'язок світу, це сила, яка керує богами і смертними. Тому природу і всевладну силу числа можна бачити не тільки в ділах божих, а й в усіх людських заняттях — мистецтві, ремеслах, музиці. Піфагор відкрив важливий закон музики, за яким висота тону струни обернено пропорційна до її довжини. Він визначив також, що коли довжини струн відносяться як 6:4:3, то при одночасному звучанні вони дають приємний гармонійний акорд; якщо ж ці числа змінити, то звукова гармонія порушується.

Піфагор поширив закон гармонії на інші явища природи, узагальнив його. Але це привело до деяких неправильних висновків. Наприклад, піфагорійці вважали, що радіуси небесних сфер (їх вони налічували 10), обертаючись навколо «центрального вогню», перебувають у такому самому відношенні, як і довжини струн, що утворюють гармонію. Вони твердили, що небо є число і гармонія. Позитивним тут був здогад про те, що земля рухається.

Виходячи із своїх ідей, піфагорійці проводили дослідницьку роботу в математиці. Вони комбінували числа і, надаючи їм містичного значення, ділили їх на числа добрі — непарні числа; злі — парні числа: досконалі — кожне з яких дорівнює сумі своїх дільників 1 (якщо з числа-дільників виключити саме число). Наприклад, досконалим числом є б, бо сума його дільників 1, 2, 3 дорівнює шести. Числа дружні — це числа, з яких одне дорівнює сумі дільників другого, але також без цього самого числа. Були в них числа пірамідальні, многокутні і т. д. Зокрема,, прямокутним називали ціле число, що дорівнює добутку двох інших цілих чисел.

Піфагор геометричне довів, що суми послідовних непарних чисел, починаючи з одиниці, є точними квадратами. Наприклад, 1+3=4=22, 1+3+>5=9=32, 1+3 + 5 + 7=16= 42, 1+3 + 5 + 7+9 = 25 = 52 і т. д.

Вивчаючи натуральний ряд чисел, піфагорійці встановили таку властивість сум послідовних чисел: 1+2 = = 3, 1+2+<3 = 6, 1+2 + 3+4=10, 1 + 2 + + 3 + 4 + 5=15 і т. д. Числа 1, 3, 6, 10, 15... вони називали трикутними числами, бо якщо скласти фігуру з кружечків, кількість яких відповідає кожному з цих чисел, то вона матиме форму трикутника (дивись малюнок).

Піфагор багато займався пропорціями і прогресіями. Піфагорійці розрізняли три види пропорцій: арифметичну, геометричну і гармонічну. Вони говорили, що три числа а, b, с утворюють неперервну гармонічну пропорцію, якщо для них справджується рівність

Число b називалося середнім гармонічним чисел а і с. Наприклад, такими є числа 2, 3 і 6, а 3 — середнє гармонічне чисел 2 і 6, бо /Складаючи різні арифметичні прогресії, піфагорійці помітили цікавий їх зв'язок з введеними раніше числами (трикутними, квадратними, прямокутними і т. п.). Наприклад: