Деформація кручення

Крученням називають деформацію тіла, яка виникає в результаті повернення поперечних січень круглого стержня навколо його осі на деякий кут під дією крутного моменту. При цьому вісь залишається прямолінійною і називається віссю кручення, а кут на який зміщується кінцеве січення називається повним кутом закручування.

Якщо жорстко закріпити один з кінців стержня круглого поперечного січення і прикласти крутний момент (Т) до іншого, то відбудеться закручування його на певний кут (рис.1).

Для вивчення характеру деформації стержня при крученні, виділимо сегмент dx (рис. 1,в) двома обмеженими січними площинами 1 і 2 на віддалі Х від його закріплення. Під дією крутного моменту точка С (в площині 2) зміститься в положення , що характеризує абсолютний зсув при крученні. При цьому кут зміщення точки С в січенні збільшується на величину df. Довжина дуги відповідає абсолютному зсуву при крученні:

СС’ = rdj, (1)

де r — радіус стержня.

Рис. 1. Характер зсуву стержня круглого поперечного січення при крученні:

а — до деформації;

б, в — після деформації.

Відносний кут зсуву в січенні визначається за формулою:

. (2)

Відношення — кут закручування на одиницю довжини стержня. Позначивши відношення через , відносний кут зсуву визначаємо за формулою:

. (3)

З цієї формули видно, що відносний зсув прямопропорційний радіусу стержня, який скручується. На основі закону Гука при зсуві можна визначити напруження в любій точці тіла за величиною відносного кута зсуву при крученні (закон Гука при крученні)

. (4)

Вводячи поняття полярного момента інерції (Ір), що є сумою добутків елементарних площ ( ) на квадрат їх віддалі ( ) до певного полюса (центру круга) — крутний момент виражається формулою:

, (5)

а кут закручування на одиницю довжини стержня:

. (6)

Добуток називають жорсткістю при крученні.

Повний кут закручування одержимо при врахуванні загальної довжини стержня l :

. (7)

Підставимо в формулу (4) вираз кута закручування на одиницю довжини з формули (5) отримаємо: