Теорія Бора

Для атома водню емпірично було знайдено вираз для термів:

Tn = Z2R/n2,

En = chTn = chZ2R/n2(2)

де R – стала (Ридберґа), Z - заряд ядра, для водню 1; n називають головним квантовим числом, яке позначає енергетичний рівень. Зі збільшенням n енергетичні рівні зближуються, і при n   спектр атома можна вважати неперервним, а, отже, і застосовувати класичну механіку. Це твердження було названо Бором принципом відповідності (коли дискретній системі ставимо у відповідність неперервну).

Нехай електрон обертається навколо ядра з кутовою частотою  по коловій орбіті радіуса r. Тоді за 2 законом Ньютона m2r = Fk = Ze2/r2, звідки  Ze2/(Lr), де L = mr2 – момент імпульсу електрона.Оскільки повна енергія електрона дорівнює

E = Ekin + Epot = m2r2 - Ze2/r = - Ze2/2r,

то частота обертання матиме вигляд  = -2E/L (3).

З іншого боку, енергії атома водню мають вигляд (2), звідки випливає, що при переході на інший енергетичний рівень величина Enn2 = const, тобто є сталою. Диференціюючи це співвідношення, матимемо:

Enn2 + 2Ennn = 0 або

En/En + 2n/n = 0.

За другим постулатом Бора En = h/2, звідси

 = -(4E/hn)n

Вважаючи для зручності n>0, отримуємо мінімальну частоту при n =1. Це так звана основна частота, яка має дорівнювати частоті (3), отриманої з класичної механіки. Після прирівнювання отримуємо таке:

L = nh/2Тобто бачимо, що в теорії Бора момент імпульсу, як і енергія, є дискретний і квантується. Оскільки m2r = Lr/ = Ze2/r2, то з (4) матимемо:

(mr2)2 = Ze2rm = (nh/2звідки

r = n2(h/2)2/(Ze2m)(5)

En = -Ze2/2r = -22(Ze2)2m/h2n2(6)

Дана теорія у загальному випадку справедлива лише для достатньо великих значень n, коли діє принцип відповідності, проте, оскільки у нашому розгляді електрон у стаціонарному стані рухається по строго визначеній коловій орбіті, як матеріальна точка в класичній механіці, то можна вважати форсули (5)-(6) чинними і за малих значень n. Уведення Z означає, що дана теорія діє для усіх воднеподібних атомів (які мають один електрон навколо ядра), проте тільки для водню пораховано терми, і застосувати це правило квантування для інших атомів ми не можемо. Зокрема при Z=n=1 матимемо

rB = (h/2)2/(me2) = 0,528•10-8 cm(7)

E = e/ rB2 = 51,5•108 В/см(8)