Диференціальні рівняння вищих порядків

Інтегруючи це рівняння двічі, будемо мати загальний розв'язок

де довільні сталі. Якщо при то із загального розв'язку одержимо Тоді із загального розв'язку отримаємо частинний розв'язок або

12.7.2. Рівняння виду

Це рівняння не містить явно За допомогою підстановки , де шукана функція, рівняння зводиться до рівняння першого порядку

Приклад 2. Знайти загальний розв'язок рівняння

Р о з в ' я з о к. Оскільки права частина не містить явно

введемо заміну Тоді і рівняння набуває вигляду

Відокремлюючи змінні та інтегруючи, одержимо

де довільна стала. Повертаючись до функції будемо мати

Після інтегрування одержимо загальний розв'язок рівняння

Рівняння виду

що також не містить явно зводиться за допомогою заміни до рівняння го порядку.

12.7.3. Рівняння виду

Це рівняння не містить в правій частині явно Зробимо заміну

Тоді

і рівняння стає після заміни рівнянням першого порядку

Знайшовши загальний розв'язок даного рівняння ,

одержимо рівняння

Загальний інтеграл рівняння має такий вигляд

Приклад 3. Задача про другу космічну швидкість.

Визначити найменшу швидкість, з якою потрібно кинути тіло вертикально вверх, щоби воно не повернулося на Землю. Опором повітря нехтувати.

Р о з в ' я з о к. Позначимо масу тіла а Землі - За законом тяжіння Ньютона сила притягання, що діє на тіло дорівнює

віддаль від центра Землі до цента ваги кинутого тіла, гравітаційна стала. Згідно другого закону Ньютона диференціальне рівняння руху має вигляд

або