Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші

Рис.12.1

Точки і належать дотичній, причому т. - це точка дотику. Якщо т. належить дотичній, то її координати мають задовольняти рівняння дотичної. Підставимо координати точок та в рівняння дотичної:

Звідси виразимо :

Тоді

Після нескладних перетворень отримаємо диференціальне рівняння першого порядку

Всяка функція вигляду задовольняє даному диференціальному рівнянню, тобто є його розв'язком при довільному значенні

Приклад 2. З деякої висоти кинуто тіло масою Потрібно встановити, за яким законом буде змінюватися швидкість падіння цього тіла, якщо на нього, крім сили ваги, діє тормозна сила опору повітря, що пропорційна швидкості (коефіцієнт пропорційності ).

Р о з в ' я з о к. За другим законом Ньютона

де прискорення рухомого тіла, сила, що діє на тіло в напрямку його руху. Ця сила складається з двох сил: сили ваги і сили опору повітря ( ми беремо її із знаком мінус, оскільки вона направлена в сторону, що протилежна напрямку швидкості).Отже,

Ми одержали співвідношення, що зв'язує невідому функцію і її похідну, тобто диференціальне рівняння відносно функції

Розв'язати диференціальне рівняння - це значить знайти функцію , яка б тотожньо задовольняла даному диференціальному рівнянню. Очевидно, що таких функцій буде безмежна множина.

Неважко перевірити, що всяка функція вигляду

задовольняє даному рівнянню при довільному значенні постійної

Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

Якщо це рівняння можна розв'язати відносно похідної то можна записати у вигляді

.

В цьому випадку ми говоримо, що диференціальне рівняння розв'язане

відносно похідної. Для такого рівняння справедлива теорема про існування та єдності розв'язку диференціального рівняння.

Теорема. Якщо в рівнянні

функція та її частинна похідна неперервні в деякій області на площині що містить точку то існує єдиний розв'язок цього рівняння що задовольняє умові: при

Геометричний зміст цієї теореми такий: існує і при тому єдина функція графік якої проходить через точку

Умова, що при функція повинна дорівнювати заданому числу називається початковою умовою. Вона часто записується так:

Задача знаходження розв'язку диференціального рівняння, що задовольняє початковій умові, називається задачею Коші.