Інтегральне числення. Невизначений інтеграл

Приклад.

Теорема. Якщо функції и(х) та v(х) мають неперервні похідні, то:

(7.4)

На практиці функції u(x) та v(x) рекомендується вибирати за таким правилом:

- при інтегруванні частинами підінтегральний вираз f(x)dx розбивають на два множники типу и • dv, тобто f(x)dx = u-dv; при цьому функція и(х) вибирається такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалась, а за dv приймають залишок підінтегрального виразу, який містить dx, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений.

Приклад.

Інколи доводиться інтегрування частинами застосовувати кілька разів, що ілюструє наступний приклад.

Нижче наведені деякі типи інтегралів, при інтегруванні яких застосо¬вують метод інтегрування частинами та показано вибір функцій и(х) та

де Р(х) - многочлен, Q(x) - алгебраїчна функція, а R.

Звичайно, не слід думати, що метод інтегрування частинами обмежує¬ться застосуванням тільки до інтегралів типу (7.5).

В деяких випадках, після інтегрування частинами інтеграла одержуєть¬ся рівняння, із якого знаходять шуканий інтеграл.

Приклад.

Отже, одержали рівняння G = eх(cosx + sinx)-G, із якого знаходимо

Мета методу підстановки - перетворити даний інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.

Теорема. Якщоf(x) - неперервна, а х = (t) має неперервну похідну, то:

(7.6)

Наслідок,

(7.7)Зауваження. Специфіка інтегрування невизначеного інтеграла не зале¬жить від того чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи сама є функцією (на підставі інваріантності форми запису першого диференціа¬лу), тому, наприклад:

В такому розумінні слід розглядати і всю таблицю інтегралів.

Приклад.

Варіант заміни змінної інтегрування (x) = t (7.7) зручний тоді, коли підінтегральний вираз можна розкласти на два множники: f ((x)) та '(x)dx.

Приклад.

Для деяких класів підінтегральних функцій розроблені стандартні замі¬ни. Вибір зручної підстановки визначається знанням стандартних підстано¬вок та досвідом.