Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями

то доцільною є

підстановка .

Розглянемо тепер випадок тобто функціяє парною як за , так і за . Очевидно, що .Якщо тепер знаки i замінити на протилежні, то, тобто є парною за , тому

. Вважаючи, що , одержимо

Підстановка зведе інтеграл до вигляду

Отже, у випадку доцільною є заміна змінної .

Оскільки , , (8.26)

то ,

тобто підстановка перетворить інтеграл до вигляду

.

Якщо не задовольняє жодну із розглянутих умов, то інтегрується за допомогою підстановки . Практично інтегруючи функцію перш за все варто встановити, чи задовольняє вона хоча б одну з умов

чи ні. Лише тоді, коли вона не задовольняє жодну, доцільно використати заміну , яку називають універсальною.

Приклад. 1.

Оскільки в разі заміни на і на підінтегральна функція не змінює знака, то підстановка зведе інтеграл до вигляду

Приклад 2. .

Цей інтеграл не задовольняє жодної з указаних умов. Тому слід використати підстановку , яка зведе інтеграл до вигляду

.

Якщо , то

.

Якщо , то

При .

При .

Приклад 3. .

Підстановка . З її допомогою інтеграл перетвориться в