Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння

Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння

План

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку (загальна теорія)

Лінійне однорідне рівняння. Структура загального розв'язку

Лінійне неоднорідне рівняння. Структура загального розв'язку

Метод варіації довільних сталих

1. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Лінійним диференціальним рівнянням -го порядку

називається рівняння вигляду ,

(12.30)

причому - задані неперервні функції.

Зауважимо, що невідома функція та всі її похідні входять у це рівняння лінійно, тобто в першому степені. Якщо в рівнянні (12.30) права частина - тотожний нуль, тобто то рівняння

(12.31)

називається лінійним однорідним рівнянням, яке відповідає рівнянню (12.30).

2. Лінійне однорідне рівняння

Позначимо для зручності ліву частину рівняння (12.30) через , де диференціальний оператор

тоді рівняння (12.30) можна подати у вигляді

(12.30а)

а рівняння (12.31) - у вигляді

(12.31а)

Безпосередньо перевіряється, що оператор є лінійним, тобто:

а)

б) .

Наведемо властивості розв'язків однорідного рівняння.

10. Сума розв'язків та рівняння (12.31) буде розв'язком того самого рівняння.