Невласні інтеграли

або

(9.9)

Формула (9.9) називається формулою трапецій. Число вибирається довільним, але чим більшим це число буде, а значить, крок меншим, тим з більшою точністю сума в правій частині наближеної рівності (9.9) буде давати значення інтеграла.

1.3. Формула парабол (Сімпсона)

Метод Сімпсона найпоширеніший і широко застосовний для програмування. Його суть полягає в наближенні підінтегральної функції відрізками парабол.

Отже, розглянемо спочатку інтеграл , де - парабола; - деякі параметри (або числа).

Тоді

Нехай тепер маємо інтеграл , де - неперервана на інтервалі функція. Якщо інтервал розбити на рівних частинок точками , то заданий інтеграл можна записати так:

Якщо на кожному з інтегралів для проміжків функцію замінимо параболами , що проходять через точки ,то одержимо

Через те, що , формула матиме вигляд:

або

(9.10)

Формула (9.10) називається формулою парабол або Сімпсона. Доведено, що похибка обчислень за формулою Сімпсона є такою:

(9.11)

Проте цією оцінкою похибки можна користуватись, якщо є хоча б чотири рази диференційованою. Але якщо навіть чотири рази диференційована, то часто оцінка четвертої похідної може виявитись досить важкою. Тому на практиці часто користуються таким методом: обчислюють інтеграл, розділяючи інтервал, визначений границями інтегрування, один раз на рівних частин, а другий раз на частин. Якщо одержані двоє значень інтеграла мало відрізняються, то результат можна вважати прийнятним. Порівнюючи їх можна оцінити і точність обчислень.

Приклад. Обчислити з точністю до 0,001 інтеграл

Р о з в ' я з о к. За формулою (9.10) маємо:

при при

-0,50,0000-0,50,000000,050,0371

-0,4-0,1203-0,45-0,09460,100,0772

-0,3-0,1303-0,40-0,12030,150,1200

-0,2-0,1081-0,35-0,13040,200,1652