Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца

Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца

План

Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

1. Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі

Теорема . Рівність

(9.6)

що є аналогічною формулі (9.6), завжди правильна, якщо виконуються такі умови:

1) функція неперервна на інтервалі ;

2) функція визначена і неперервна в деякому інтервалі і не виходить за межі проміжку , коли змінюється в ;

3)

4) існує в неперервна похідна

Д о в е д е н н я. Якщо - первісна від функції , то ми можемо записати такі рівності:

Справедливість другої рівності перевіряється диференціюванням обох частин по

Із першої рівності отримаємо

Із другої рівності будемо мати

Праві частини останніх виразів рівні, отже, будуть рівні і їх ліві частини.

Тут варто зазначити, що в разі інтегрування підстановками повертатися до старої змінної не треба. Слід тільки пам'ятати, що в разі кожної заміни змінної потрібно обчислювати нові границі інтегрування.

Приклад . Обчислити

Р о з в ' я з о к. Зробимо заміну тоді

Якщо то якщо то

Тоді

2. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Нехай функції і диференційовані функції від . Тоді Інтегруючи обидві частини цієї рівності в межах від до одержимо

Оскільки то , тому будемо мати