Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду

План

Розвинення функції у степеневий ряд.

Контрольні запитання

Яке розвинення в степеневий ряд функції ex.

Яке розвинення в степеневий ряд функції sin x.

Яке розвинення в степеневий ряд функції cos x.

Яке розвинення в степеневий ряд функції ln(1+x).

Яке розвинення в степеневий ряд функції arctg x

Література

Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. - К.: Видавничий центр „Академія”, 2002. - 432с.

Розвинення в степеневі ряди функцій, ex, sinx,cosx

Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=ex має вигляд

(1)

Нехай R- довільне фіксоване додатне число. Якщо x є (-R; R), то

(2)

Позначивши через , матимемо

(3)

За ознакою Д'Аламбера ряд а1+а2+…an+… збіжний, тому . Звідси дістанемо

(4)

для всіх x є (-R;R). Оскільки число R було взято довільно, рівність правильна для всіх Х є

За теоремою Д'Аламбера функція f(x)=ex в інтервалі , який розвивається в степеневий ряд, який для цієї функції має вигляд.

. (5)

Додатковий член формули Тейлора у формі Лагранжа для функції f(x)=sinx має вигляд

(6)