Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах

План

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин

Обчислення площі плоскої фігури

Обчислення площі в декартових координатах

Площа криволінійного сектора в полярних координатах

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

1. Площа плоскої фігури

1.1. Обчислення площі в декартових координатах

В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю кривою причому на відрізку може бути як додатною, так і від'ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою

(10.1)

Нехай у прямокутній системі координат фігура (рис.10.1) обмежена кривими

Виділимо у фігурі смужку шириною . Її довжина дорівнюватиме . Тоді площа смужки .

Звідси Отже,

(10.2)

Рис.10.1 Рис.10.2

Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі

(10.3)

Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію на відрізку а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою

Зробивши заміну в цьому інтегралі і враховуючи, що одержимо

(10.4)

1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатах

Нехай криві, що обмежують фігуру, задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури якщо: ,

У фігурі виділимо сектор з центральним кутом Вважатимемо, що дуги, які обмежують сектор , є дугами кіл радіусів . Очевидно, що площа сектора між дугами i дорівнює Інтегруючи, одержимо