Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин

План

Визначення та обчислення об'єму тіла

Обчислення об'єму тіла за площами його поперечних перерізів

Обчилення об'єму тіла обертання

Обчислення об'ємів

1.Обчислення об'єму тіла за його за площами

поперечних перерізів

На рис. 10.5 задано тіло, що обмежене зверху поверхнею , а також площинами , , , .

Нехай треба визначити будь-яку площу перерізу тіла

площиною, перпендикулярною до осі . Виділимо в тілі частинку, одержану двома паралельними перерізами, віддаленими один від одного на величину .Тоді об'єм виділеної частини

Інтегруючи, отримаємо

(10.5)

Рис.10.5 Рис.10.6

2. Об'єм тіла обертання

Нехай фігура (рис.10.6) обертається навколо осі . У результаті утвориться тіло обертання. Знайдемо його об'єм. Для цього виділимо смужку шириною . Його висоту можна взяти такою, що дорівнює. У результаті обертання фігури навколо осі смужка опише циліндричне тіло висотою з радіусом основи . Його об'єм Після інтегрування отримаємо

(10.6)

Приклад 1. Гіперболічний циліндр перетнутий двома площинами, з яких перша перпендикулярна до твірної, а друга проходить через фокус гіперболи перетину циліндра першою площиною так, що лінія її перетину з першою площиною перпендикулярна до осі гіперболи і утворює кут з першою площиною (рис. 10.7). Знайти об'єм гіперболічного відрізка , якщо відстань від фокуса гіперболи до її найближчої вершини дорівнює

2 м, а довжина перпендикулярного до її осі відрізка , що з'єднує дві точки гіперболи і проходить через фокус, дорівнює 10 м .

Р о з в ' я з о к. Нехай відрізок

м,м, фокус гіперболи , - одна з віток гіперболи. Позначимо , . Тоді точка матиме координати

Отже рівняння гіперболи буде таким:

Підставивши сюди координати точки і, враховуючи, що , одержимо таку систему рівнянь для визначення і :