Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів

.

або

(6.93)

(6.93) перетворювалася на нуль: Рівність (6.93) виконується в усіх точках екстремуму. Доберемо множник так, щоб в точках екстремуму функції друга дужка у рівності

.

Тоді в точках екстремуму виконуються три рівняння:

(6.94)

з трьома невідомими . Із системи (6.94) визначаємо і , що відіграє лише допоміжну роль і в подальшому не потрібне.

Ліві частини рівнянь (6.94) є частинними похідними функції

,

яка називається функцією Лагранжа. Система (6.94) співпадає з умовами безумовного екстремуму функції .

Із виводу рівнянь (6.94) випливає, що вони є лише необхідними умовами умовного екстремуму.

Зауваження. Описаний метод поширюється на дослідження умовного екстремуму функції будь-якого числа змінних.

Нехай потрібно знайти максимуми і мінімуми функції змінних

за умови, що змінні зв'язані рівняннями:

(6.95)

Складемо функцію Лагранжа

і прирівняємо до нуля її частинні похідні по :

(6.96)

Із рівнянь (6.95) і (6.96) знаходимо координати критичних точок і допоміжних невідомих . Системи рівнянь (6.95) і (6.96) є необхідними умовами умовного екстремуму.

Приклад. За яких розмірів прямокутний паралелепіпед має найбільший об'єм, якщо його повна поверхня має площу ?

Р о з в ' я з о к. Нехай довжина сторін паралелепіпеда дорівнюють і . Його об'єм , а площа поверхні . Потрібно знайти найбільше значення функції за умови .

Складаємо функцію Лагранжа

і прирівнюємо до нуля її частинні похідні: