Частинні похідні і диференціали вищих порядків

Частинні похідні і диференціали вищих порядків

План

Частинні похідні вищих порядків

Теорема про рівність змішаних похідних

Диференціали вищих порядків

6.11.Частинні похідні вищих порядків

Розглянемо функцію двох змінних . Її частинні похідні і є функціями змінних і . Від цих похідних також можна знайти частинні похідні. Їх буде чотири, оскільки від кожної з функцій і можна знайти частинні похідні по та по . Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:

- функція два рази диференціюється по ;

- функція диференціюється по , а потім по ;

- функція диференціюється по , а потім по ;

- два рази диференціюється по .

Похідні другого порядку також можна диференціювати по і . Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.

Приклад. Знайти другі частини похідних від функції .

Р о з в ' я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:

; .

Диференціюємо кожну з них по і . Одержуємо частинні похідні другого порядку:

.

В розглянутому прикладі

.

Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема.

Теорема. Якщо функція та її частинні похідні означені і неперервні в точці і в деякому її околі, то в цій точці

,

тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними.

Доведення теореми опускаємо.