Відношення порядку

Відношення R на множині M називається відношенням часткового (нестрогого) порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне, тобто

1. aRa для всіх aM (рефлексивність),

2. Якщо aRb і bRa, то a = b (антисиметричність),

3. Якщо aRb і bRc, то aRc (транзитивність).

Множина M, на якій задано деякий частковий порядок, називається частково впорядкованою множиною. Елементи a,bM назвемо порівнюваними за відношенням R, якщо виконується aRb або bRa.

Частково впорядкована множина M, в якій будь-які два елементи є порівнюваними між собою, називається лінійно впорядкованою множиною або ланцюгом. Відповідне відношення R, задане на лінійно впорядкованій множині, називається лінійним (досконалим) порядком. Таким чином, відношення R на множині M називається відношенням лінійного порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне, транзитивне і для будь-якої пари елементів a,bM виконується aRb або bRa.

Для позначення відношень порядку будемо використовувати знаки  і , які повторюють звичайні математичні знаки  і . Тобто для відношення порядку R замість aRb будемо записувати a  b або b  a і читати "a менше або дорівнює b" або "b більше або дорівнює a" відповідно. Очевидно, що  є оберненим відношенням до відношення .

За кожним відношенням часткового порядку  на довільній множині M можна побудувати інше відношення < на M, поклавши a < b тоді і лише тоді, коли ab і ab. Це відношення називається відношенням строгого порядку на множині M. Зрозуміло, що відношення строгого порядку антирефлексивне, транзитивне, а також задовольняє умові так званої сильної антисиметричності або асиметричності, тобто для жодної пари a,bM не може одночасно виконуватись a
З іншого боку, за довільним відношенням строгого порядку < на множині M однозначно можна побудувати відповідне відношення часткового (нестрогого) порядку , поклавши a  b тоді і тільки тоді, коли a < b або a = b, a,bM. З огляду на такий простий зв'язок між відношеннями часткового (нестрогого) і строгого порядку можна обмежитись вивченням лише одного з цих порядків, наприклад, .

Приклад 1.17. 1. Відношення  і < (  і > ) є відношеннями відповідно часткового і строгого порядку на множинах чисел N, Z і R. Більше того, множини N, Z і R, а також будь-які їхні підмножини, є лінійно впорядкованими множинами за відношеннями  або .

2. Частковим порядком є відношення рівності iM на будь-якій множині M. Цей порядок іноді називають тривіальним.

3. Відношення нестрогого включення є відношенням часткового порядку, а відношення - відношенням строгого порядку на множині (A) всіх підмножин (булеані) заданої множини A.

4. Задамо відношення  і < на множині R кортежів дійсних чисел довжини n наступним чином: (a1,a2,...,an)(b1,b2,...,bn ), якщо a1b1, a2b2,..., anbn; аналогічно (a1,a2,...,an)<(b1,b2,...,bn), якщо (a1,a2,...,an)(b1,b2,...,bn) і принаймні для однієї координати i=1,,...,n виконується ai
Тоді (2,3.75,-4)<(2.1, 24,0), але кортежі (1,4,-1.7 ) і (2,2,4) непорівнювані.

Аналогічно може бути введено частковий порядок на множинах Nn, Zn і Qn.

5. Зафіксуємо строгий порядок розташування символів у довільному скінченному алфавіті A={a1,a2,...,an}, наприклад, покладемо, що a1
Лексикографічний порядок можна поширити на множину A всіх слів в алфавіті A, якщо доповнити алфавіт A додатковим ("порожнім") символом b і вважати, що b