Кардинальні числа

A ~ A2 ~ A4 ~... ~ A2k ~ A2k+2 ~...,

A1 ~ A3 ~ A5 ~... ~ A2k+1 ~ A2k+3 ~...,

f0f1f2f3... fn ...

Із наведених співвідношень випливає, що відповідності

f'2 = f2 \ f3 (A \ A1 )(A2 \ A3 ),

f'4 = f4 \ f5 (A2 \ A3 )(A4 \ A5 ),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f'2k+2 = f2k+2 \ f2k+3 (A2k \ A2k+1 )(A2k+2 \ A2k+3 ),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

є взаємно однозначними.

Отже, (A \ A1) ~ (A2 \ A3 ) ~ (A4 \ A5 ) ~...~ (A2k \ A2k+1) ~ (A2k+2 \ A2k+3) ~....

Оскільки рівнопотужні множини (A \ A1), (A2 \ A3 ), (A4 \ A5 ),..., (A2k \ A2k+1),... попарно не перетинаються, то множини

C1 = (A \ A1)  (A2 \ A3 )  (A4 \ A5 ) ...  (A2k \ A2k+1)...,

C2 = (A2 \ A3 )  (A4 \ A5 )  (A6 \ A7 ) ...  (A2k+2 \ A2k+3)...

також рівнопотужні, тобто C1 ~ C2.

Позначимо через D = AA1A2A3...An....

Неважко переконатись, що

A = D  (A \ A1)  (A1 \ A2 )  (A2 \ A3 ) ...  (An \ An+1)...,

A1 = D  (A1 \ A2 )  (A2 \ A3 ) ...  (An \ An+1)...,

Нехай D0 = D  (A1 \ A2 )  (A3 \ A4 ) ...  (A2k+1 \ A2k+2)...,

тоді попередні співвідношення можна подати у вигляді:A = D0  [(A \ A1)  (A2 \ A3 )  (A4 \ A5 ) ...  (A2k \ A2k+1)...] = D0 C1,

A = D0  [(A2 \ A3 )  (A4 \ A5 )  (A6 \ A7 ) ...  (A2k+2 \ A2k+3)...] = D0 C2.

Оскільки між множинами C1 і C2 існує взаємно однозначна відповідність g, а D0C1= і D0C2=, то iD0  g є взаємно однозначною відповідністю між A і A1, отже, A~A1. Через iD0D0D0 позначено тотожню взаємно однозначну відповідність між елементами множини D0 : iD0 = { (d,d) | dD0 }.

З умови теореми B ~ A1, одержаного співвідношення A~A1 і властивостей симетричності і транзитивності відношення рівнопотужності маємо B ~ A.