Відношення. Властивості відношень

Підмножина R декартового степеня Mn деякої множини M називається n-місним або n-арним відношенням на множині M. Кажуть, що елементи a1,a2,...,anM знаходяться у відношенні R, якщо (a1,a2,...,an)R.

При n=1 відношення RM називають одномісним або унарним. Таке відношення часто називають також ознакою або характеристичною властивістю елементів множини M. Кажуть, що елемент a M має ознаку R, якщо aR і RM. Наприклад, ознаки "непарність" і "кратність 7" виділяють із множини N натуральних чисел унарні відношення R = {2k-1 | kN } і R = {7k | kN }, відповідно.

Найбільш популярними в математиці є двомісні або бінарні відношення, на вивченні властивостей яких ми зупинимось детальніше. Далі скрізь під словом "відношення" розумітимемо бінарне відношення. Якщо елементи a,bM знаходяться у відношенні R (тобто (a,b)R), то це часто записують у вигляді aRb. Зауважимо, що бінарні відношення іноді розглядають, як окремий випадок відповідностей, а саме - як відповідності між однаковими множинами.

Приклад 1.13. Наведемо приклади бінарних відношень на різних множинах.

1. Відношення на множині N натуральних чисел:

R1 - відношення "менше або дорівнює", тоді 4R19, 5R15, 1R1m для будь-якого mN ;

R2 - відношення "ділиться на", тоді 4R23, 49R27, mR21 для будь-якого mN ;

R3 - відношення "є взаємно простими", тоді 15R38, 366R3121, 1001R3612;

R4 - відношення "складаються з однакових цифр", тоді 127R4721, 230R 4 302, 3231R 43213311.

2. Відношення на множині точок координатної площини R2:

R5 - відношення "знаходяться на однаковій відстані від початку координат", тоді (3,2) R5 ( ,- ), (0,0)R 5 (0,0) ;

R6 - відношення "симетричні відносно осі ординат", тоді (1,7)R6(-1,7) і взагалі (a,b)R6(-a,b) для будь-яких a,bR ;

R7 - відношення "менше або дорівнює". Вважаємо, що (a,b)R7(c,d), якщо a  c і b  d. Зокрема, (1,7)R7(20,14), (-12,4)R7(0,17).

3. Відношення на множині студентів даного вузу:

R8 - відношення "є однокурсником",

R9 - відношення "є молодшим за віком від".

Для задання відношень можна користуватись тими ж способами, що і при заданні множин. Наприклад, якщо множина M скінченна, то довільне відношення R на M можна задати списком пар елементів, які знаходяться у відношенні R.

Зручним способом задання бінарного відношення R на скінченній множині M = {a1,a2,...,an} є задання за допомогою так званої матриці бінарного відношення. Це квадратна матриця C порядку n, в якій елемент cij, що стоїть на перетині i-го рядка і j-го стовпчика, визначається так

 1, якщо aiRaj,

cij = 

 0, в противному разі.