Математичні основи

Означення. Нехай a та b – цілі числа. Кажуть, що a дорівнює b за модулем n, позначається через a  b (mod n), якщо a - b ділиться на n.

Приклад. 23 3 (mod 5), тому що 23 - 3 = 5 * 4;

-25 3 (mod 7), тому що -25 - 3 = 7 * -4;

Властивості. Нехай a, a1, b, b1, c – цілі числа.

1. a b (mod n) тоді і тільки тоді коли a та b дають рівні залишки при діленні на n.

2. Рефлексивність. a a (mod n).

3. Симетрія. Якщо a b (mod n), то b a (mod n).

4. Транзитивність. Якщо a b (mod n) і b c (mod n), то a c (mod n).

5. Якщо a a1 (mod n) та b b1 (mod n),

то a + b a1 + b1 (mod n) і a * b a1 * b1 (mod n).

Означення. Нехай n – ціле додатне число. Позначимо через Ct клас, у який об’єднано усі цілі числа, які при діленні на n дають одну і ту ж остачу t. Усі цілі числа розіб’ються на n класів C0, C1, ..., Cn-1, які називаються класами лишків за модулем n.

Приклад. Нехай n = 7. Тоді до класу C2 належать числа виду 7 * x + 2, де x Z.

Твердження. Два числа є порівнюваними за модулем n, якщо вони належать одному класу лишків за модулем n.

Означення. Якщо з кожної системи лишків за модулем n взяти по одному представнику, то отриману систему чисел називають повною системою лишків за модулем n. Якщо повну систему лишків будувати з найменших невід’ємних лишків, то вона прийме вигляд: 0, 1, 2, ..., n - 1. Її будемо позначати через Zn. Арифметичні операції над елементами цієї множини відбуваються за модулем n. Повна система лишків утворює групу з операцією додавання.

Приклад. Повною системою лишків за модулем 5 буде множина чисел Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}.

Приклад. Z12 = {0, 1, 2, ..., 11}. У класі Z12: 11 + 6 = 5, тому що 11 + 6 = 17 5 (mod 12). 10 * 3 = 6, тому що 10 * 3 = 30 6 (mod 12).

Перша теорема про лишки лінійної форми. Якщо у лінійній формі ax + b число x пробігає усі значення з повної системи лишків за модулем n при НСД(a, n) = 1 та довільному b, тоді ax + b пробігає усі значення повної системи лишків за модулем n.

Доведення. Отримана система складається з n чисел, оскільки замість x у формі ax + b підставляються n різних значень. Доведемо від супротивного, що усі ці n отриманих чисел різні. Нехай x1 та x2 не порівнювані за модулем n, але ax1 + b ax2 + b (mod n). Тоді ax1 ax2 (mod n). Але оскільки НСД(a, n) = 1, то x1 x2 (mod n). Отримали суперечність.

Приклад. Нехай n = 6, a = 5, b = 1, при цьому НСД(a, n) = 1. Підставимо до форми 5 * x + 1 значення x із повної системи лишків Z6 = {0, 1, 2, ..., 5}.

x5 * x + 1 (mod 6)

01

10