Опукла оболонка

Означення. Афінна геометрія складається з множини скалярів S (дійсних чисел), множини точок P та множини вільних векторів V (або просто векторів). Точки використовуються для задання положення, а вектори – для задання напрямку та величин, хоча вони і не мають фіксованого положення у просторі.

Операції афінної геометрії:

1. добуток скаляра на вектор: S * V V;

2. додавання векторів: V + V V;

3. віднімання точок: P - P V;

4. додавання точки та вектора: P + V P

Різницею двох точок p та q буде вектор, який направлево з q до p.

Кількість операцій можна розширити. Наприклад, різницю векторів можна визначити як u - v = u + (-1) * v, а ділення вектора на скаляр як v / a = (1 / a) * v. Але не можна додавати дві точки або множити точку на скаляр.

Означення. Нехай в Ed задано k різних точок p1, p2, ...,pk. Множина точок p таких що

p = a1p1 + a2p2 + ... + akpk (ai R, a1 + a2 + ...+ ak = 1)

називається афінною множиною, породженою точками p1, p2, ..., pk, а p називається афінною комбінацією точок p1, p2, ..., pk.

Афінна комбінація є частковим випадком лінійної комбінації (вводиться додаткова умова a1 + a2 + ...+ ak = 1). При k = 2 афінна множина – це пряма, що проходить через дві точки p1 та p2.

Приклад. Нехай дано дві точки p1, p2 та число а. Позначимо через Aff(p0, p1, a) комбінацію (1 - a) * p1 + a * p2 = p1 + a * (p2 - p1). Ліва частина рівності містить недопустиму операцію (додавання точок), але еквівалентний їй алгебраїчний вираз правої частини є допустимим. Якщо p1 p2, то Aff(p0, p1, a) лежить на прямій p1p2. Коли а пробігає всі дійсні значення, то вираз Aff(p0, p1, a) пробігає всі точки прямої p1p2. При a [0; 1] значення Aff(p0, p1, a) пробігає всі точки відрізку [p; q].

Для представлення векторів та точок в афінному просторі використовуються гомогенні координати. При роботі з d вимірним афінним простором координати будемо представляти (d + 1) - кортежами дійсних чисел. Перший елемент кортежа дорівнює 1 для точки і 0 для вектора. Інші d елементів кортежа відповідають безпосередньо координатам.

P(1; 1; 3), Q(1; 4; 1), u(0; 1; 2).

P - Q = (1-1; 1-4; 3-1) = (0; -3; 2).

Означення. Три точки p, q, r на площині мають додатню орієнтацію, якщо вони утворюють трикутник, орієнтований проти годинникової стрілки та від’ємну орієнтацію, якщо обхід трикутника pqr відбувається за годинниковою стрілкою. Три точки p, q, r мають нульову орієнтацію, якщо вони лежать на одній прямій.

Орієнтація визначається знаком детермінанта, визначеного координатами трьох точок в гомогенних координатах:

Orient(p, q, r)

Означення. Нехай в просторі Ed задана підмножина L. Афінною оболонкою aff(L) множини L називається найменша афінна множина, яка містить L.