Похідна суми, добутку та частки з наведеними прикладами

Теорема: Якщо функції u(x) і (x) мають похідні у всіх точках інтервалу a; b, то

(u(x)(x))’ = u’(x)’(x)

для любого х є a; b[. Кортше,

(u)’ = u’

Доведення: Суму функцій u(x)+(x), де х є a; b, яка представляє собою нову функцію, позначим через f(x) і найдем похідну цієї функції,

Нехай х0 – деяка точка інтервала a; b.

Тоді

Також,

Так як

х0 – допустима точка інтервала a; b, то маєм:

Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.

Наприклад,

а)

б)

в)

Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених.

Теорема. Якщо функції u(x) і (x) мають похідні у всіх точках інтервала a; b, то

для любого х є a; b. Коротше,

Доведення. Позначим похідні через х є a; b, і найдем похідну цієї функції, виходячи із опреділення.

Нехай х0 – деяка точка інтервала a; b. Тоді

Навіть так як

то

Так як х0 – вільна точка інтервала a; b, то маєм

Теорема доведена.

Приклад,