Бульові функції

Означення. n-місна бульова функція f(n) є суперпозицією функцій f1, f2, …, fn, якщо її можна задати формулою, усі функціональні символи якої є серед символів функцій f1, f2, …, fn.

З наведених прикладів 1 і 2 видно, що функція h1(x, y, z) задається формулою ((x, y), (y, z)), або в інфіксному записі (xy)(yz). Аналогічно функція h2(x, y) задається формулою ((x, y), (y, x)), або (xy)(yx). Як бачимо, обидві функції задаються формулами з тими самими функціональними символами тобто є суперпозиціями цих функцій.

Наостанок наведемо узгодження, які склалися в математиці й дозволяють у формулах з функціональними символами записувати не всі необхідні дужки. ****

Суттєві та несуттєві змінні

Розглянемо поняття суттєвої залежності функції від її змінних. Почнемо з прикладів: значення функції h2(x, y) з прикладу 2 на кожному з наборів збігаються зі значеннями x. Отже, зміна значення y не впливає на значення функції, тобто вона фактично не залежить від y. В той час як зміна значення x веде до зміни значення h2. Уточнимо ці міркування наступними означеннями.

Означення. Змінна xi функції f(n)(x1, x2, …, xi, …, xn) називається суттєвою, якщо існує хоча б одна пара наборів значень змінних

(1, 2, …, i-1, 0, +1, …, n) і (1, 2, …, i-1, 1, i+1, …, n),

така, що

f(n)(1, 2, …, i-1, 0, i+1, …, n) f(n)(1, 2, …, i-1, 1, i+1, …, n).

Змінна xi називається несуттєвою у противному разі, тобто коли за всіх можливих пар наборів значень

(1, 2, …, i-1, 0, i+1, …, n) і (1, 2, …, i-1, 1, i+1, …, n)

мають місце рівності:

f(n)(1, 2, …, i-1, 0, i+1, …, n) = f(n)(1, 2, …, i-1, 1, i+1, …, n).

Наприклад, неважко переконатися, що всі змінні функції h1 з прикладу 1 є суттєвими. Функція h2 має суттєву змінну x і несуттєву y. Функція двох змінних, задана як вектор (1111), не має суттєвих змінних.

Еквівалентні формули та закони

Одна й та сама бульова функція задається, взагалі кажучи, багатьма різними формулами. Наприклад, неважко переконатися, що формули xy і xy обидві задають функцію (1101). Таким чином, можна говорити про еквівалентність цих двох формул.

Означення. Нехай **** Формули 1 і 2 називаються еквівалентними, якщо

2. Бульові функції та комбінаційні схеми

І-елементАБО-елементелементНЕ-елемент

Розглянемо реалізацію бульових функцій у вигляді комбінаційних схем. Найпростішими з них є логічні елементи, відповідні бульовим функціям: кон'юнкції , диз'юнкції , додавання за модулем 2 та заперечення . Вони позначаються й зображаються таким чином:

Входи перших трьох елементів вважаються симетричними згідно законів комутативності, яким задовольняють кон'юнкція, диз'юнкція та додавання за модулем 2.