Конструювання багатомірних модальних П-регуляторів

Тут вектор визначається умовою

Розглянемо керування для системи (7.1) з зовнішнім збуренням на керування

де  m -вимірний вектор постійних впливів.

В результаті функціонування системи керування (7.1), вектор стану x(t) при буде прямувати до деякої точки у фазовому просторі .

Визначимо цю точку з умови, коли

і шукана точка у фазовому просторі має вигляд

до якої прямує траєкторія системи (7.1) при . Зворотна матриця до матриці A+BC існує відповідно до необхідної умови асимптотичної стійкості замкнутої системи (7.1), тому що коефіцієнт характеристичного рівняння замкнутої системи

При проектуванні асимптотично стійких систем керування задається точка у фазовому просторі, в яку повинна перейти динамічна система з постійним впливом на керування (7.4).

Обираючи зовнішні впливи для асимптотичної стійкої системи (7.1) з множини

ми прагнемо забезпечити збіжність траєкторії системи до точки у фазовому просторі.

У випадку, коли

то система (7.5) має точний розв'язок і система керування (7.1) досягає точки фазового простору , де

тоді система керування (7.1) не досягає точки фазового простору . У цьому випадку вектор зовнішніх збурень на керування визначається з співвідношенням

.

З умови (7.7) знаходимо, що при

досягається мінімум функціоналу (7.7). У цьому випадку система керування досягає точки у фазовому просторі

а квадрат похибки досягнення системою керування (7.1) точки має вигляд

Величину квадрата помилки досягнення (7.10) системи можна зменшити за рахунок зміни матриці B, тобто за рахунок вибору прикладення керуючих впливів (синтезу структури керування). Змінимо матрицю B оптимальним чином. Для цього скористаємося градієнтною процедурою визначення матриці B на k+1 - му кроці

Для знаходження скористаємося наступною теоремою.

Теорема. Якщо матриця A+BC має повний ранг, то

Доведення. Неважко показати, що для матриці Х, що має повний ранг, виконується співвідношення

де - елемент матриці В.

Легко отримати і наступне співвідношення