Cинтез систем з оптимізацією модальних регуляторів

Розглянемо задачу оптимального вибору структури розподілу керуючого сигналу в лінійній системі з метою мінімізації норми матриці коефіцієнтів підсилення в оберненому зв’язку закону модального регулювання.

Нехай в системі

де – n - вимірний, u – m - вимірний вектори, необхідно визначити обернений зв’язок

згідно умови модального керування

при оптимізації за рахунок вибору як елементів матриці С , так і елементів матриці B з відповідних множин

Методи визначення матриці підсилення модального регулятора наводяться в роботах [2, 4, 6, 9, 11] . Один з можливих методів визначення матриці модального регулятора зводиться до представлення шуканої матриці у вигляді [ 10, 11 ] . Це представлення матриці підсилення звужує множину можливих модальних регуляторів, але дає можливість порівняно просто визначати коефіцієнти модального регулятора. Пропонується наступний підхід по визначенню матриці C . Представимо систему (3.1) у вигляді

Спочатку розглянемо систему

і визначимо коефіцієнти характеристичного рівняння

елементами вектора p є коефіцієнти характеристичного рівняння розімкнутої системи.

На наступному кроці розглядається система

з коефіцієнтами характеристичного рівняння замкнутої системи

На кроці m розглядається наступна система рівнянь

для замкнутої системи, якій необхідно забезпечити наступні коефіцієнти характеристичного рівняння

вибираючи відповідним чином вектор . Компоненти вектора є коефіцієнтами характеристичного рівняння (3.3).

Таким чином, у випадку обмежень виду

наведена задача оптимізації модального регулятора зводиться до наступної задачі керування системою з дискретним аргументом

з початкового стану

в кінцевий

при умові оптимізації наступного функціоналу

Вектор визначається з умови

Для розв’язання поставленої задачі запишемо чисельну процедуру знаходження матриць З цією метою запишемо функцію Гамільтона [12] для системи (3.4)

Спряжені змінні задовільняють наступним системам рівнянь

Матриці розмірності мають наступну структуру